Lambacher-Schweizer (1950): Analysis. S. 102
Leibniz Calculus
MNU Bundeskongress 2026
Table of Contents
- Klein und 'unvergleichlich klein'
- 'Unvergleichlich kleine' Größen im Leibniz Calculus
- Genauigkeit und mathematische Idealisierung
- Charakteristisches Dreieck
- Charakteristisches Dreieck in der Infinitesimal-Lupe
- Finites charakteristisches Dreieck
- Charakteristisches Pol-Dreieck
- Differenzial und Integral
- Differenzialquotient und Differenzenquotient
- Differenziale & charakteristisches Dreieck (Text)
- Differenzial und Integral
- Kreisfläche durch 'Abwickeln' berechnen
- Richtungsfelder & Stammfunktion
- Richtungsfeld I
- Richtungsfeld II
- Euler-Cauchy Verfahren für Stammfunktionen
'Unvergleichlich kleine' Größen im Leibniz Calculus
[size=150]Im Sprachgebrauch ist im Zusammenhang mit Leibniz und Integralen oft von 'unendlich klein' die Rede und es entsteht Konfusion, dass das doch gleich Null sei. Das war aber nicht die Denkweise von Leibniz, sondern eine moderne Fehlinterpretation.[br][br]"Leibniz benutzt in seinem Brief an Pierre Varignon vom 2. Februar 1702 die Wendung „unvergleichlich klein“ (französisch sinngemäß „incomparablement petit“) zur Charakterisierung der Infinitesimalgrößen seines Kalküls. Diese Formulierung soll ausdrücken, dass diese Größen im Verhältnis zu endlichen Größen so klein sind, dass ihr Einfluss bei Addition zu einer endlichen Größe vernachlässigt werden kann, ohne jedoch selbst strikt gleich Null zu sein.[br]In dieser berühmten Passage erläutert Leibniz, dass man mit solchen „unvergleichlich kleinen“ Größen so rechnen dürfe, als ob sie gleich Null wären, sofern man dadurch nur Terme vernachlässigt, die noch kleinerer Ordnung sind. Dadurch rechtfertigt er, warum man in Ableitungs- und Tangentenrechnungen Infinitesimale streicht, obwohl sie logisch nicht mit Null identisch sind.[br]Für Leibniz sind diese „unvergleichlich kleinen“ Größen also methodische Hilfsgrößen eines nicht-archimedischen Größenbegriffs: Sie verletzen die klassische archimedische Forderung, wonach jede nicht‑null Größe durch genügend oft wiederholtes Addieren jede andere Größe übertreffen kann. Gerade dieser nicht-archimedische Charakter ist es, den Leibniz in dem Brief besonders hervorhebt, um den Infinitesimalkalkül gegenüber Einwänden zu verteidigen."[br][br][i]Perplexity.ai am 8.12.2025[/i][/size]
Charakteristisches Dreieck in der Infinitesimal-Lupe
[size=150]Hier geht es um Differenziale im Sinne von Leibniz und das infinitesimale charakteristische Dreieck.[br]Hier wird das im linken Fenster optisch nicht erkennbare "unvergleichlich kleine" Dreieck (Leibniz in einem Brief an Varignon 1702) mit den Differenzialen dx, dy und ds durch Anklicken der Check-Box im rechten Fenster mit der Infinitesimallupe vergrößert angezeigt.[br][br]Sie können an P (oder x) ziehen und Sie können einen anderen Funktionsterm für f eingeben. [/size]
[size=150]Das infinitesimale charakteristische Dreieck bleibt hier infinitesimal, es wird nur im rechten Fenster in der Simulation eines Infinitesimal-Lupe vergrößert [i]angezeigt[/i].[/size]
Differenzialquotient und Differenzenquotient
[size=150]Hier geht es um Differenziale im Sinne von Leibniz und das infinitesimale charakteristische Dreieck.[br]Dieses kann entlang der Tangente vergrößert werden mit der x-Kathete Δx. [br]Dazu können wir das entsprechende rechtsseitige Sekantendreieck betrachten. Beide können wir im rechten Fenster noch einmal größer sehen. Wenn Sie am Schieberegler Δx ziehen, können Sie den Grenzprozess vom Differenzenquotienten zum Differenzialquotienten, von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung visualisieren.[br][br]Sie können an P (oder x) ziehen und Sie können einen anderen Funktionsterm für f eingeben. [/size]
Aus einem Schulbuch 1950:
Richtungsfeld I
[size=150]Die Stammfunktion F einer gegebenen stetigen Funktion f ist eine Lösung der Differenzialgleichung y' = f(x).[br]Wenn eine Stammfunktion F existiert, dann damit auch eine Schar von Stammfunktionen F[sub]c[/sub](x) = F(x) + c. [br][br]Zunächst betrachten wir eine Stammfunktion F[sub]c[/sub] = Integral(f) + c und [i]dazu [/i]etliche Tangentenstückchen, die ggf. eine Spur zeichnen können. [br]Aktivieren Sie die Check-Box [i]Tangentenstückchen zeigen[/i] und variieren Sie c.[br]Was stellen Sie bei der Spur der Tangentenstückchen fest?[/size]
Die Spur der blauen Tangentenstückchen liefert ein spezielles Richtungsfeld, wenn man c variiert.[br]Dies ist noch nicht das mathematikübliche Richtungsfeld (siehe Aufgabe Richtungsfeld II).[br]Vielmehr ist das die umgekehrte Herangehensweise, ist aber für das Verständnis hilfreich.[br]Die Funktion f erzeugt hier dies besondere Richtungsfeld.[br]Man sieht hier, dass 'untereinander' die Spuren der Tangentenstückchen parallel sind, aber es gibt keine 'horizontalen Zeilen'.