Leibniz Calculus

H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW, Dec 7, 2025

MNU Bundeskongress 2026

Table of Contents

  1. Was ist mit Leibniz Calculus gemeint?
    1. URL
    2. Begriffsklärung
  2. Genauigkeit und Kleinheitsordnung
    1. Drei Arten von 'klein'
    2. Info: 'Unvergleichlich kleine' und 'vernachlässigbar kleine' Größen im Leibniz Calculus
    3. Info: Genauigkeit und mathematische Idealisierung
    4. Info: Differenziale, unvergleichlich klein
  3. Charakteristisches Dreieck
    1. Das Infinitesimale sichtbar machen!
    2. DLU: Charakteristisches Dreieck in der Infinitesimal-Lupe
    3. DLU: Ähnliches Subtangenten-Dreieck
    4. DLU: Ähnliches Pol-Dreieck
  4. Differenzial und Integral
    1. DLU: Differenzialquotient und Differenzenquotient
    2. Cool kalküliert: Rechnen wie mit Zahlen
    3. Produktregel
    4. DLU: Produktregel der Differenzialrechnung im Leibniz Calculus
    5. DLU: Kreisfläche durch 'Abwickeln' berechnen
    6. DLU: Bogenlänge numerisch, Polygonzug
    7. Bogenlänge, Formel
    8. Hauptsatz im Leibniz Calculus
    9. Info: Differenzial, Integral und der Hauptsatz im Leibniz Calculus
  5. Mehr Präzision?
    1. Unsicheres Gelände
    2. Sichere Wege
    3. Sichere Wege II
    4. Exaktheit und Paradoxien
    5. Mehr Präzision = mehr Klarheit?
    6. Genauigkeit im Detail
    7. Etwas größerer Ausschnitt
    8. Noch größerer Ausschnitt (weniger Details)
    9. Gesamtbild Mosaic
  6. Fazit
    1. Fundamentale Ideen verstehen
    2. Mehr (Ein-)Sehen durch Unschärfe
  7. Kontakt & Literatur
    1. Kontakt
    2. Literatur

1.

Was ist mit Leibniz Calculus gemeint?

  • 1. URL
  • 2. Begriffsklärung

1.1.

URL

[br][size=200]https://www.geogebra.org/m/c7pxu5ar[br][/size][br][br]
– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

1.2.

–

2.

Genauigkeit und Kleinheitsordnung

  • 1. Drei Arten von 'klein'
  • 2. Info: 'Unvergleichlich kleine' und 'vernachlässigbar kleine' Größen im Leibniz Calculus
  • 3. Info: Genauigkeit und mathematische Idealisierung
  • 4. Info: Differenziale, unvergleichlich klein

2.1.

Drei Arten von 'klein'

– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

Charakteristisches Dreieck

  • 1. Das Infinitesimale sichtbar machen!
  • 2. DLU: Charakteristisches Dreieck in der Infinitesimal-Lupe
  • 3. DLU: Ähnliches Subtangenten-Dreieck
  • 4. DLU: Ähnliches Pol-Dreieck

3.1.

Das Infinitesimale sichtbar machen!

– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

Differenzial und Integral

  • 1. DLU: Differenzialquotient und Differenzenquotient
  • 2. Cool kalküliert: Rechnen wie mit Zahlen
  • 3. Produktregel
  • 4. DLU: Produktregel der Differenzialrechnung im Leibniz Calculus
  • 5. DLU: Kreisfläche durch 'Abwickeln' berechnen
  • 6. DLU: Bogenlänge numerisch, Polygonzug
  • 7. Bogenlänge, Formel
  • 8. Hauptsatz im Leibniz Calculus
  • 9. Info: Differenzial, Integral und der Hauptsatz im Leibniz Calculus

4.1.

DLU: Differenzialquotient und Differenzenquotient

[size=150]Hier geht es um Differenziale im Sinne von Leibniz und das infinitesimale charakteristische Dreieck.[br]Dieses kann entlang der Tangente vergrößert werden mit der x-Kathete Δx. [br]Dazu können wir das entsprechende rechtsseitige Sekantendreieck betrachten. Beide können wir im rechten Fenster noch einmal größer sehen. Wenn Sie am Schieberegler Δx ziehen, können Sie den Grenzprozess vom Differenzenquotienten zum Differenzialquotienten, von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung visualisieren.[br][br]Sie können an P (oder x) ziehen und Sie können einen anderen Funktionsterm für f eingeben. [/size]
Aus einem Schulbuch 1950:
Lambacher-Schweizer (1950): Analysis. S. 102
– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

5.

Mehr Präzision?

  • 1. Unsicheres Gelände
  • 2. Sichere Wege
  • 3. Sichere Wege II
  • 4. Exaktheit und Paradoxien
  • 5. Mehr Präzision = mehr Klarheit?
  • 6. Genauigkeit im Detail
  • 7. Etwas größerer Ausschnitt
  • 8. Noch größerer Ausschnitt (weniger Details)
  • 9. Gesamtbild Mosaic

5.1.

Unsicheres Gelände

– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

6.

Fazit

  • 1. Fundamentale Ideen verstehen
  • 2. Mehr (Ein-)Sehen durch Unschärfe

6.1.

Fundamentale Ideen verstehen

[b]Differenzialrechnung[/b][br]Infinitesimale (Steigungs-)Dreiecke mit 'unvergleichlich kleinen' Größen im Finiten sichtbar machen (charakteristisches Dreieck). [br]Verhältnisse (Quotienten) bleiben erhalten, Quotient von Differentialen dy/dx. [br][br][b]Integralrechnung[/b][br]Infinite Summen von infinitesimal kleinen Größen f(x)[math]\cdot[/math]dx ergeben zusammengefasst (integriert) eine finite Größe. [br][br][b]Hauptsatz[/b][br][math]\int[/math]dy/dx [math]\cdot[/math]dx = [math]\int[/math]dy = y .[br][br][b]Kalkül[br][/b]Rechnen mit infinitesimalen Größen 'als ob' man mit finiten Größen rechnen würde. [br]Geniale Symbolik mit dx und dy, "so dass das Rechnen mit den Symbolen fast von selbst funktioniert".[br]
– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

6.2.

–

7.

Kontakt & Literatur

  • 1. Kontakt
  • 2. Literatur

7.1.

Kontakt

[size=200][b][br][br]elschenbroich@t-online.de[/b][/size]
– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

7.2.

–

Information