Für das Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Variablen gibt es 3 verschiedene Strategien:[br][list][*]das Einsetzungsverfahren[/*][*]das Gleichsetzungsverfahren und [/*][*]das Additionsverfahren[br][/*][/list]Jede dieser Strategien führt natürlich zum gleichen Ergebnis. Welche der drei Strategien zu empfehlen ist, hängt davon ab, in welcher Form das Gleichungssystem vorliegt. Alle Strategien sind dazu da, um jeweils eine Variable aus den Gleichungen zu entfernen, so dass nur noch [b]eine[/b] Gleichung mit [b]einer[/b] Variablen übrig bleibt.
Die Summe zweier Zahlen [math]a[/math] und [math]b[/math] ergibt 12. Dabei ist die eine Zahl genau doppelt so groß wie die andere.
Aus dem Text oben lassen sich zwei Gleichungen bilden:[br][math]a+b=12[/math] und[br][math]a=2\cdot b[/math][br]Da die zweite Gleichung einen Ausdruck für die Zahl [math]a[/math] liefert, kann das [math]a[/math] der zweiten Gleichung einfach in die erste Gleichung eingesetzt werden:[br]Diese lautet dann: [br][math]2\cdot b+b=12[/math][br]Nun hat diese Gleichung nur noch eine Variable und kann einfach aufgelöst werden: [math]3\cdot b=12\Rightarrow\underline{\underline{b=4}}[/math][br]Wenn eine Variable ausgerechnet ist, dann is es mit einer der beiden Anfangsgleichungen ein Leichtes, die zweite zu berechnen:[br]z.B.: [math]a+4=12\Rightarrow a=12-4\Rightarrow\underline{\underline{a=8}}[/math]
Wenn zwei Gleichungen auf einer Seite des Gleichheitszeichens einen gleichen Term stehen haben, dann kann man auch die anderen Seiten des Gleichheitszeichens gleichsetzen:[br][br][math]2\cdot x+1=5\cdot y-6[/math][br][math]2\cdot x+1=3\cdot y+9[/math][br]Dann ist auch [math]5\cdot y-6=3\cdot y+9[/math] [br]Diese Gleichung hat wieder nur eine Variable und kann nach [math]y[/math] aufgelöst werden.[br][br]Dieses Verfahren wird zum Beispiel eingesetzt, wenn der [b]Schnittpunkt zweier linearer Funktionen[/b] berechnet werden soll: Gegeben sind [math]f(x)=-3x+5[/math] und [math]g(x)=6x-13[/math][br]Dann gilt für den Schnittpunkt: [math]s_y=-3s_x+5[/math] und [math]s_y=6s_x-13[/math][br]Also gilt auch [math]-3s_x+5=6s_x-13[/math] [br]Auflösen nach [math]s_x[/math] ergibt [math]s_x=2[/math] und einsetzen in eine der Funktionsgleichungen ergibt [math]s_y=-1[/math].
Wenn man zwei Gleichungen untereinander schreibt und sie dann addiert oder von einander subtrahiert, dann erhält man eine Gleichung als Ergebnis, die auch eine richtige Aussage ist:[br]Beispiele:[br][math][br]\begin{array}{cc} [br]\begin{array}{c} [br]{}\\ -\\[br]{}[br]\end{array} &[br]\begin{array}{rcrc} [br]2\cdot x&+&5\cdot y=&15\\[br](-4\cdot x&+&5\cdot y =& -45)\\[br]\hline[br]6\cdot x &&=&60[br]\end{array}[br]\end{array} [br][/math][br]Hier ist das [math]y[/math] wieder herausgefallen und die Gleichung läst sich einfach nach [math]x[/math] auflösen.[br]Oder mit einer Addition:[br][math][br]\begin{array}{cc} [br]\begin{array}{c} [br]{}\\+\\{}[br]\end{array} &[br]\begin{array}{rcrl} [br]-3\cdot x&-&4\cdot y=&12\\[br](6\cdot x&+&4\cdot y =& 12)\\[br]\hline[br]3\cdot x &&=&24[br]\end{array}[br]\end{array} [br][/math] [br]In beiden Beispielen lässt sich nun einfach das [math]x[/math] bestimmen. Wenn man dieses [math]x[/math] nun in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzt und diese nach [math]y[/math] umstellt, dann erhält man auch die Lösung für [math]y[/math].[br][br]