Wenn der Graph einer Funktion [i]f[/i] gestreckt, verschoben und/oder gespiegelt wird, so erhält man den Funktionsterm [i]g[/i]([i]x[/i]) des neuen, modifizierten Graphen durch folgende Regeln:[br][br][color=#0000ff]Streckung um [i]a[/i] in y-Richtung (d.h. vertikal):[/color][br][math]g\left(x\right)=a\cdot f\left(x\right)[/math][br]Der gesamte Funktionsterm wird mit [i]a[/i] multipliziert.[br][u]Beispiel[/u]: [math]f\left(x\right)=3\cdot2^x[/math]; vertikale Streckung um 150 %: [math]g\left(x\right)=1,5\cdot\left(3\cdot2^x\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }g\left(x\right)=4,5\cdot2^x[/math][br][br][color=#0000ff]Streckung um 1/[i]b[/i] in x-Richtung (d.h. horizontal):[/color][br][math]g\left(x\right)=f\left(b\cdot x\right)[/math][br]Jedes (!) [i]x[/i] wird mit [i]b[/i] multipliziert.[br][u]Beispiel[/u]: [math]f\left(x\right)=\pi^x[/math]; horizontale Streckung um 300 %: [math]g\left(x\right)=f\left(\frac{x}{3}\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }g\left(x\right)=\pi^{\frac{x}{3}}[/math][br][br][color=#0000ff]Verschiebung um [i]d[/i] nach oben:[/color][br][math]g\left(x\right)=f\left(x\right)+d[/math][br]Der Funktionsterm und [i]d[/i] werden addiert.[br][u]Beispiel[/u]: [math]f\left(x\right)=0,21^x[/math]; Verschiebung um 7 nach unten: [math]g\left(x\right)=0,21^x-7[/math][br][br][color=#0000ff]Verschiebung um [i]c[/i] nach rechts:[/color][br][math]g\left(x\right)=f\left(x-c\right)[/math][br][i]c[/i] wird von jedem (!) [i]x[/i] subtrahiert.[br][u]Beispiel[/u]: [math]f\left(x\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^x[/math]; Verschiebung um 5 nach links: [math]g\left(x\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x+5}[/math][br][br][color=#0000ff]Spiegelung an der x-Achse:[/color][br][math]g\left(x\right)=-f\left(x\right)[/math][br]Der gesamte Funktionsterm wird mit -1 multipliziert.[br][u]Beispiel[/u]: [math]f\left(x\right)=3^x\text{ }\Rightarrow\text{ }g\left(x\right)=-3^x[/math][br][br][color=#0000ff]Spiegelung an der y-Achse:[/color][br][math]g\left(x\right)=f\left(-x\right)[/math][br]Jedes (!) [i]x[/i] wird mit -1 multipliziert.[br][u]Beispiel[/u]: [math]f\left(x\right)=e^x\text{ }\Rightarrow\text{ }g\left(x\right)=e^{-x}[/math]
a) Erzeugen Sie die Schaubilder der folgenden Funktionen:[br][br][list=1][*]Funktion [i]g[/i], deren Graph aus dem Graphen von [i]f[/i] mit [i]f[/i]([i]x[/i])=2[i][sup]x[/sup][/i] hervorgeht durch Verschieben um 3 nach links.[/*][*]Funktion [i]h[/i], deren Graph aus dem Graphen von [i]f[/i] hervorgeht durch vertikales Strecken um 800 %.[br][/*][/list][br]b) Geben Sie die Funktionsgleichungen von [i]g[/i] und [i]h[/i] an.[br][br]c) Diskutieren Sie anhand der Funktionsterme, warum die Graphen von [i]g[/i] und [i]h[/i] identisch sein müssen.[br][br]d) Leiten Sie eine allgemeine Gesetzmäßigkeit für Exponentialfunktionen her, die den Zusammenhang zwischen einer horizontalen Verschiebung und einer vertikalen Streckung beschreibt.
b)[br]1. [math]g\left(x\right)=f\left(x+3\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }g\left(x\right)=2^{x+3}[/math][br]2. [math]h\left(x\right)=8\cdot f\left(x\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }h\left(x\right)=8\cdot2^x[/math][br][br]c) [math]g\left(x\right)=h\left(x\right)[/math] für alle [math]x\in D[/math], da [math]2^{x+3}=2^x\cdot2^3[/math][br][br]d) Eine horizontale Verschiebung eines Graphen einer Exponentialfunktion [i]f[/i] mit [i]f[/i]([i]x[/i])=[i]q[sup]x[/sup] [/i]um [i]c[/i] nach rechts ist gleichbedeutend mit einer vertikalen Streckung mit dem Faktor [math]a=q^c[/math]
a) Erzeugen Sie die Schaubilder der folgenden Funktionen:[br][br][list=1][*]Funktion [i]g[/i], deren Graph aus dem Graphen von [i]f[/i] mit [i]f[/i]([i]x[/i])=2[i][sup]x[/sup][/i] hervorgeht durch horizontale Streckung (Stauchung) auf 50 %.[/*][*]Funktion [i]h[/i], deren Wachstumsfaktor 4 ist.[br][/*][/list][br]b) Geben Sie die Funktionsgleichungen von [i]g[/i] und [i]h[/i] an.[br][br]c) Diskutieren Sie anhand der Funktionsterme, warum die Graphen von [i]g[/i] und [i]h[/i] identisch sein müssen.[br][br]d) Leiten Sie eine allgemeine Gesetzmäßigkeit für Exponentialfunktionen her, die den Zusammenhang zwischen einer horizontalen Verschiebung und einer vertikalen Streckung beschreibt.
b)[br]1. [math]g\left(x\right)=f\left(\frac{1}{0,5}x\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }g\left(x\right)=2^{2x}[/math][br]2. [math]h\left(x\right)=4^x[/math][br][br]c) [math]g\left(x\right)=h\left(x\right)[/math] für alle [math]x\in D[/math], da [math]2^{2x}=\left(2^2\right)^x[/math][br][br]d) Eine horizontale Streckung eines Graphen einer Exponentialfunktion [i]f[/i] mit [i]f[/i]([i]x[/i])=[i]q[sup]x[/sup] [/i]um 1/[i]b[/i] ist gleichbedeutend mit einem Wechsel des Wachstumsfaktors: [math]q_{\text{neu}}=q_{\text{alt}}^b[/math]
Testen Sie Ihre Ergebnisse aus den letzten beiden Aufgaben mit folgenden Applets.