[b][size=150]1.[/size][/b] Niech [math]f:[a,b)\to\mathbb{R}[/math] będzie funkcją całkowalną na każdym przedziale domkniętym [math][a,\beta][/math], gdzie[math]a<\beta<b[/math]. Załóżmy, że funkcja [math]f[/math] jest nieograniczona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu b. Granicę[center][math]\displaystyle \lim_{\beta\to b^{-}}\int\limits_{a}^{\beta}\! f(x)\,dx[/math][/center]nazywamy [color=#cc0000]całką niewłaściwą funkcji [/color][math]f[/math][color=#cc0000] na przedziale [/color][math][a,b)[/math] i oznaczamy [math]\int_{a}^{b}\!f\left(x\right)\,dx[/math].[br]Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa [math]\int_a^{b}\!\!\!f(x)\,dx[/math] jest [color=#cc0000]zbieżna[/color], natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka [math]\int_a^{b}\!\!\!f\left(x\right)\,dx[/math] jest [color=#cc0000]rozbieżna[/color].

Obliczymy całkę niewłaściwą [math]\int_0^{2}\!\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx[/math][br][br][u]Rozwiązanie:[/u][br][math]\int_{0}^{2}\!\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx=\lim\limits_{\beta\to 2^{-}}\int_{0}^{\beta}\!\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx=\lim\limits_{\beta\to 2^{-}}\bigg[\arcsin \tfrac{x}{2}\bigg]\,\bigg|_{0}^{\beta}=\lim\limits_{\beta\to 2^{-}}\big(\arcsin \tfrac{\beta}{2}-\arcsin \tfrac{0}{2}\big)=\arcsin 1-0=\tfrac{\pi}{2}[/math][br][br]Poniższy aplet pokazuje jak zmienia się wartość całki wraz ze wzrostem wartości parametru [math]\beta[/math].

[b][size=150]2.[/size][/b] Niech [math]f:(a,b]\to\mathbb{R}[/math] będzie funkcją całkowalną na każdym przedziale domkniętym [math][\alpha,b][/math], gdzie[math]a<\alpha<b[/math]. Załóżmy, że funkcja [math]f[/math] jest nieograniczona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu a. Granicę[center][math]\displaystyle \lim_{\alpha\to a^{+}}\int\limits_{\alpha}^{b}\! f(x)\,dx[/math][/center]nazywamy [color=#cc0000]całką niewłaściwą funkcji [/color][math]f[/math][color=#cc0000] na przedziale [/color][math](a,b][/math] i oznaczamy [math]\int_{a}^{b}\!f\left(x\right)\,dx[/math].[br]Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa [math]\int_a^{b}\!\!\!f(x)\,dx[/math] jest [color=#cc0000]zbieżna[/color], natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka [math]\int_a^{b}\!\!\!f\left(x\right)\,dx[/math] jest [color=#cc0000]rozbieżna[/color].

Obliczymy całkę niewłaściwą [math]\int\limits_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi}\!\tan x\,dx[/math].[br][br][u]Rozwiązanie:[/u][br][math]\int\limits_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi}\!\tan x\,dx=\lim\limits_{\alpha\to\tfrac{\pi}{2}^{+}}\int\limits_{\alpha}^{\pi}\!\tan x\,dx=\lim\limits_{\alpha\to\tfrac{\pi}{2}^{+}}\int\limits_{\alpha}^{\pi}\!\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=\lim\limits_{\alpha\to\tfrac{\pi}{2}^{+}}\bigg[-\ln |\cos x|\bigg]\,\bigg|_{\alpha}^{\pi}=[/math][br][math]=\lim\limits_{\alpha\to\tfrac{\pi}{2}^{+}}\bigg(-\ln |\cos \pi|+\ln |\cos \alpha|\bigg)=\{-\ln 1-\ln 0^{+}\}=-\infty[/math][br]Rozważana całka niewłaściwa okazuje się być całką rozbieżną. Tym razem trudno zobaczyć ten wynik na wykresie.