Alle Funktionen, die einen geraden Funktionsgraphen haben, sind lineare Funktionen. Man kann sich also merken: [b]Lineare Funktionen kann man mit einem Lineal zeichnen[/b].[br]Die Funktionsgleichungen linearer Funktionen lassen sich alle in folgende Form bringen:[br][math]\bgcolor{#FFFFAA}{\Large\boxed{f(x)=m\cdot x + b}}[/math][br]Dabei stehen die Variablen [math]m[/math] und [math]b[/math] für beliebige Zahlen.[br]Die Funktionsgleichungen von linearen Funktionen können anfangs auch anders aussehen. Z.B. [math]g(x)=4\cdot(x-2)+1[/math] sieht ganz anders aus. Aber wenn man die Klammer auflöst und dann die Zahlen zusammenfasst, dann wird daraus: [math]g(x)=4\cdot x-7[/math]. Also ist in diesem Beispiel [math]m=4[/math] und [math]b=7[/math].[br][br]Probieren Sie im folgenden Arbeitsblatt aus, was mit dem Funktionsgraphen passiert, wenn man [math]m[/math] oder [math]b[/math] verändert. Sie können die Parameter mit den Schiebereglern verändern, oder Sie geben einen neuen Wert in die Eingabezeile ein, z.B. "[color=#45818e]m = - 4[/color]".

Der Parameter [math]b[/math] gibt an, in welcher Zahl der Funktionsgraph die [math]y[/math]-Achse (die Ordinate) schneidet.

Die Steigung m wird genau so berechnet, wie man es im Straßenverkehr macht: Man zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck an den Graphen und dann rechnet man die Höhe des Dreiecks geteilt durch die Breite: [math]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math] . Da Steigung auf Verkehrsschildern immer in Prozent angegeben wird, ist hier [math]\Delta x=100[/math] (siehe die folgende Animation).

Den y-Achsenabschnitt [math]b[/math] kann man ganz einfach an der Ordinate (der y-Achse) ablesen. Aber wie liest man die Steigung ab? Zeichnen Sie an den Graphen einfach irgend ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem eine Seite parallel zur Abszisse (x-Achse) und eine Seite parallel zur Ordinate ist. Dann teilt man die Höhe des Dreiecks durch die Breite: [math]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math]. Da das Ergebnis ein Bruch ist, vergessen Sie am Ende nicht das Kürzen. [br]Im folgenden Arbeitsblatt kann man das üben. Drücken Sie "Neu" um eine neue Funktion zu erhalten.[br]Da sich auch das [math]b[/math] hier ganz einfach ablesen lässt, können sie auch gleich die ganze Funktionsgleichung bestimmen.

Zwei Ecken des Steigungsdreiecks im oben abgebildeten Applet liegen auf der Geraden.[br]Nennen wir diese Punkte [math]\mathbf{A}(a_x|a_y)[/math] und [math]\mathbf B(b_x|b_y)[/math]. [br]Dann ist die Höhe des Steigungsdreieckes [math]\Delta y=b_y-a_y[/math] und die Breite des Steigungsdreieckes ist [math]\Delta x=b_x-b_a[/math].[br]Daraus kann man eine Gleichung für die Steigung formulieren:[br]Sind zwei unterschiedliche aber beliebige Punkte [math]\mathbf{A}[/math] und [math]\mathbf{B}[/math] einer linearen Funktion bekannt, dann kann man die Steigung mit der folgenden Gleichung berechnen:[br][math]\bgcolor{#FFFFAA}{\Large{\boxed{m=\frac{a_y-b_y}{a_x-b_x}\;\overset{\text{oder}}{=}\;\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x}}}}[/math]

Beispiel: Gesucht ist eine Funktion durch die beiden Punkte [math]\mathbf{A}(2|1)[/math] und [math]\mathbf{B}(6|9)[/math].[br]Dann ist die Steigung: [math]m=\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x}=\frac{9-1}{6-2}=\frac{8}{4}=2[/math][br]Die gesuchte Funktion wird also so aussehen:[br][math]f(x)=m\cdot x+b=2\cdot x+b[/math][br]Nun müssen wir noch den [math]y[/math]-Achsenabschnitt [math]b[/math] ausrechnen. [br]Dazu wählen wir einen der beiden Punkte [math]\mathbf{A}[/math] oder [math]\mathbf{B}[/math] aus. Meistens ist es geschickt, den Punkt mit den kleineren Zahlen zu wählen, also [math]\mathbf{A}(2|1)[/math].[br]Dann wird die y-Koordinate von [math]\mathbf{A}[/math] für [math]f(x)[/math] eingesetzt und die [math]x[/math]-Koordinate für das [math]x[/math]: [math]a_y=m\cdot a_x+b[/math] also hier [math]1=2\cdot2+b[/math]. Diese Gleichung kann un nach b umgestellt werden:[br][math]1=4+b\quad \big\vert -4[/math][br][math]\Rightarrow-3=b[/math] als ist [math]b=-3[/math] und die Funktinsgleichung heißt[br][math]f(x)=2\cdot x-3[/math]

Verwenden Sie das oben stehende Applet, um sich verschiedene lineare Funktionen anzuzeigen.[br]Berechnen Sie dann [math]m[/math] und [math]b[/math] wie oben beschrieben.[br]Dann lassen Sie sich das Ergebnis anzeigen und schauen, ob sie richtig gerechnet haben.