As variáveis que ocorrem em problemas representam quantidades que em geral só podem variar em uma certa faixa de valores possíveis, a qual chamamos de [i]domínio da variável[/i]. Por exemplo, quando usamos a variável [math]V[/math] para nos referir ao volume do tanque no problema das duas torneiras, consideramos que [math]V[/math] assumia valores [i]reais e maiores que zero[/i], ou seja, [br][center][br][math] V\in \{x\in \mathbb{R}|x>0\},[/math][br][/center]onde estamos usando a linguagem da Teoria dos Conjuntos para expressar o domínio de [math]V[/math] simbolicamente. Vamos relembrar os conjuntos numéricos mais importantes.

São os números usados para contar.[br][list][*]Símbolo: [math]\mathbb{N}[/math][br][/*][*]Conjunto: [math]\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\cdots\}[/math][br][/*][/list]

Os números inteiros estendem o conjunto de números naturais com números [i]negativos[/i] para permitir[br]expressar a ideia de "falta" ou de "débito".[br][list][*]Símbolo: [math]\mathbb{Z}[/math][br][/*][*]Conjunto: [math]\mathbb{Z}=\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\}[/math][br][/*][/list]

Os números racionais estendem o conjunto de números inteiros com [i]frações[/i] para permitir[br]expressar a relação entre parte e todo.[br][list][*]Símbolo: [math]\mathbb{Q}[/math][br][/*][*]Conjunto: [math]\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}|a,b\in\mathbb{Z} \text{ e } b\neq 0\}[/math][br][/*][/list]

Os antigos matemáticos gregos descobriram que o comprimento da diagonal de um quadrado de lado um não pode ser expresso como uma fração ou razão entre dois números inteiros, ou seja, eles descobriram que existem números [i]irracionais.[/i] O conjunto dos números reais estende o conjunto dos números racionais para incluir os números irracionais.[br][list][*]Símbolo: [math]\mathbb{R}[/math][br][/*][*]Conjunto: É mais fácil pensar no conjunto [math]\mathbb{R}[/math] geometricamente como o conjunto dos pontos de uma reta infinita.[br][/*][/list][br][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Real_number_line.svg/500px-Real_number_line.svg.png[/img][br]Se não indicarmos o domínio de uma variável, assumimos implicitamente que essa variável é real.

Na prática, a maioria das variáveis que ocorrem em problemas assumem valores reais e dentro de uma certa faixa de valores. Portanto, é conveniente introduzir o conceito de [i]intervalo da reta[/i] e uma notação adequada para representá-lo. Quando escrevemos que[br][center][math]x\in[a,b][/math][/center][br]queremos dizer que [math]x[/math] pode assumir valores reais entre [math]a[/math] e [math]b[/math], [br]incluindo os valores de [math]a[/math] e [math]b[/math]. Se quisermos excluir a extremidade [math]a[/math], por exemplo, usamos um parêntesis ao invés de colchetes. Explore as diversas possibilidades na figura interativa abaixo.

[list=1][br][*]Represente o conjunto [math]\{x\in\mathbb{R} | x\neq 5\}[/math] usando a notação de intervalo.[br][*]Represente o conjunto [math]\{x\in\mathbb{R} | x<3 \text{ ou }x\geq 2\}[/math] usando a notação de intervalo.[br][*]Represente o conjunto [math]\{x\in\mathbb{R} | x\neq -1 \text{ e }x< 1\}[/math] usando a notação de intervalo.[br][/list]

Finalmente, os matemáticos descobriram que se acrescentarmos aos números reais um número [i][math]i[/math][/i] com a propriedade que [math]i^2=-1[/math], equações algébricas sempre possuem soluções, e assim chegamos ao conjunto dos números [i]complexos.[br][/i][br][list][*]Símbolo: [math]\mathbb{C}[/math][br][/*][*]Conjunto: [math]\mathbb{C}=\left\{a+bi|a,b\in\mathbb{R} \text{ e } i^2=-1\right\}[/math][br][/*][/list]A figura abaixo ilustra a relação de continência entre os principais conjuntos numéricos.

É muito frequente encontrarmos variáveis [math]x[/math] e [math]y[/math] que se relacionam de tal modo que para cada valor de [math]x[/math] em um certo domínio [math]D[/math] podemos associar um único valor de [math]y[/math]. Nesse caso dizemos que [math]y[/math] é uma função de [math]x[/math], com domínio [math]D[/math]. Por exemplo, se [math]y=\frac{1}{x+1}[/math], claramente para todo [math]x\neq -1[/math] podemos calcular um valor bem definido de [math]y[/math]. Vemos assim que o domínio dessa função é o conjunto [math]D=\mathbb{R}-\{-1\}=(-\infty,-1)\cup(-1,\infty)[/math]. [br][br]É muito comum darmos um nome para a função, tal como [math]f(x)[/math], [math]g(x)[/math] etc., de modo que podemos também dizer que [math]f(x)=\frac{1}{x+1}[/math] tem domínio [math]D(f)=\mathbb{R}-\{-1\}[/math]. A ideia aqui é que podemos pensar a função [math]f(x)[/math] como uma máquina que calcula um valor [math]f(x)[/math] para todo [math]x\in D(f)[/math]. Por exemplo, [math]f(3)=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}[/math].[br]

Determine o domínio das seguintes funções:[br][list=1][br][*] [math]f(x)=x-\sqrt{2}[/math][br][*] [math]f(x)=\frac{x-2}{x+1}[/math][br][*] [math]f(x)=\frac{2x}{x^2+3}[/math][br][*] [math]f(x)=\sqrt{2x-5}[/math][br][*] [math]f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-8}}[/math][br][*] [math]f(x)=\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}[/math][br][/list]