Kapitel V: Konstruieren und Argumentieren
Klasse 7
Table of Contents
- Winkel an sich schneidenden Geraden
- Winkel an Geradenkreuzungen
- 2. Doppelkreuzungen
- Winkelsummen
- Winkelsumme im Dreieck
- Dreiecke konstruieren
- Dreieck konstruieren (3 Seiten gegeben)
- Dreiecke konstruieren (SSS)
- Dreieck konstruieren: SWS
- Dreiecke konstruieren (SWS)
- Dreiecke konstruieren (WSW)
- Dreieck konstruieren: WSW
- Dreieck konstruieren: SSW (1 Lösung)
- Dreieck konstruieren: SSW (2 Lösungen)
- Kongruenz
- Kongruenz von Dreiecken
- Prüfe die Kongruenz !
- 3.4. Kongruenz Schloss
- 3.4. Kongruenz Teil 3
- Kongruenzsätze anwenden
- Kongruenzsatz wsw
- Kongruenzsatz (SSS)
Winkel an Geradenkreuzungen
[size=150][color=#980000]Schneiden sich zwei Geraden f und h, so entstehen um den Schnittpunkt herum vier Winkel und zwei besondere Winkelpaare, die wir nun betrachten wollen.[/color][/size]
Übung 1
Frage 1
[b]Gegeben ist die Winkelgröße von [/b][math]\alpha[/math][b] mit 60°. Wie groß ist dann der Winkel [/b][math]\beta[/math][b] ? [/b][br][br](Tipp: [math]\alpha[/math]und [math]\beta[/math] ergeben zusammen einen gestreckten Winkel.)
Merke
[size=150][b][color=#38761d]An zwei sich schneidenden Geraden heißt das Paar [u]nebeneinander liegender [/u]Winkel ( [/color][math]\alpha[/math][color=#38761d] und [/color][math]\beta[/math][color=#38761d]) [i][u]Nebenwinkel[/u][/i].[br][/color][/b][/size][b][color=#38761d][size=150]Die Summer zweier Nebenwinkel beträgt 180°.[br][br][/size][/color][/b]
Frage 2
[b]Wie groß sind die übrigen Winkel [math]\gamma[/math] und [math]\delta[/math] ?[br][/b][br](Tipp: [math]\beta[/math] und [math]\gamma[/math] sind [u]Nebenwinkel,[/u] ebenso die Winkel [math]\gamma[/math] und [math]\delta[/math].)
Frage 3
[b]Betrachte nun die Winkelpaare [/b][math]\alpha[/math][b] und [/b][math]\gamma[/math][b] bzw. [/b][math]\beta[/math][b] und [/b][math]\delta[/math][b]. [br]Was fällt dir auf?[/b]
Merke
[size=150][b][color=#38761d]An zwei sich schneidenden Geraden nennt man das Paar [u]gegenüberliegender [/u]Winkel ( [/color][math]\alpha[/math][color=#38761d] und [math]\gamma[/math][/color][/b][b][color=#38761d] ) [u][i]Scheitelwinkel[/i][/u].[/color][/b][/size][b][color=#38761d][size=150][br]Scheitelwinkel sind gleich groß.[br][br][/size][/color][/b]
Winkelsumme im Dreieck
Bewege den Schieberegler und beantworte die unten stehenden Aufgaben.
Formuliere deine Entdeckung für die Innenwinkel.
Berechne mithilfe deiner Entdeckung den fehlenden Innenwinkel. [br][math]\alpha=54°,[/math] [math]\beta=37°[/math]
Formuliere deine Entdeckung für die Außenwinkel.
Buch, S.172 Nr.5a (Lambacher Schweizer, Mathematik 7 - G9 Ausgabe Nordrhein-Westfalen ab 2019)
Bestimme in die fehlenden Winkel (rot) in der obigen Abbildung. Nutze auch deine Vorkenntnisse über besondere Winkel (Stufen-/ Wechsel-/Neben-/ Scheitelwinkel).
Dreieck konstruieren (3 Seiten gegeben)
Aufgabe:
1. Schreibe eine Konstruktionsanleitung, wie man ein Dreieck konstruiert, wenn drei Seitenlängen gegeben sind. Nutze dazu das angezeigte GeoGebra Applet.[br][br]2. Führe die Konstruktion des Dreiecks mit den angegebenen Seitenlängen in deinem Heft durch.
Die Idee zu diesem Applet basiert auf dem Applet des Nutzers Porchträger.
Kongruenz von Dreiecken
Heute beschäftigen wir uns damit, was du über ein Dreieck wissen musst, um es eindeutig zu zeichnen.[br][br]Wiederholung der bekannten Befehle in Geogebra:[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon]Verschieben von Objekten.[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon]Setzen eines beliebigen Punktes[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon]Markieren des Schnittpunkts zweier Linien[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon]Zeichnen einer Gerade durch zwei Punkte.[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon]Zeichnen eines Kreises mit gegebenem Mittelpunkt sowie einem weiteren Punkt, durch den er geht.[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_circlepointradius.png[/icon]Zeichnen eines Kreises mit gegebenem Mittelpunkt und Radius.[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_anglefixed.png[/icon]Zeichnen eines Winkels mit festgelegtem Winkelmaß.[br]Neu dazu kommt heute:[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon]Zeichnen der Strecke zwischen zwei Punkten.
[b][size=200]Partneraufgabe[/size][/b][br]Bearbeitet die folgende Aufgabe getrennt voneinander. Einer von euch arbeitet auf dem Papier, während die andere am Tablet arbeitet. Vergleicht danach eure Ergebnisse miteinander. [br][b]Konstruiere ein Dreieck mit a = 5 Längeneinheiten und b = 4 LE.[br][/b](Bei dieser und allen folgenden Aufgaben ist es kein Problem, wenn die Objekte in Geogebra anders heißen.)[br]Unter dem Applet gibt es ein paar Hilfestellungen, wenn du Probleme hast. Versuche es aber erst einmal selbst!
Tipps
Die Dreiecke, die du und deine Partnerin konstruiert haben, sahen nicht unbedingt gleicht aus. Beschreibe kurz, woran das liegt.
[b][size=200]Partneraufgabe[br][/size][/b]Probieren wir das ganze noch einmal, diesmal mit mehr Informationen zu dem Dreieck. Tausche dafür mit deinem Partner. Derjenige, der vorher das Tablet hatte, arbeitet nun auf dem Papier und umgekehrt.[br][b]Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 5 LE, b = 4 LE und c = 6 LE.[/b]
Tipps
Vergleiche dein Ergebnis mit dem deiner Partnerin. Beschreibe, was dir auffällt.
Wähle die korrekte Antwort aus und übertrage dann den Hefteintrag in dein Heft.
Ergänze deinen Hefteintrag um die[br][b][size=100]Konstruktionsanleitung SSS[/size][/b][br]Bsp: Zeichne ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 4 LE, b = 5 LE, c = 2 LE[br]1. Zeichne eine der Seiten.
2. Schlage Kreise mit den jeweiligen Seitenlängen als Radius an beiden Endpunkten.
3. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der 3. Punkt des Dreiecks.
Die Kreise haben aber zwei Schnittpunkte. Erkläre kurz, warum das nicht dazu führt, dass die Konstruktion nicht eindeutig ist.
[b][size=200]Wdh: Bezeichnungen im Dreieck[br][/size][/b][size=200][size=100]Erinnerung: Im Dreieck werden die Eckpunkte, Seiten und Winkel wie hier zu sehen bezeichnet.[/size][/size]
[b][size=200]Weitere Dreieckskonstruktionen[/size][/b][br]Bearbeitet nun gemeinsam die folgenden Dreieckskonstruktionen. Wechselt euch am Tablet ab[br]Überprüft bei allen Konstruktionen, ob sie stabil sind, wenn ihr Punkte verschiebt.[br][br]1. Konstruiere ein Dreieck mit c = 6 LE, [math]\alpha[/math] = 30°, [math]\beta[/math] = 100°
2. Konstruiere ein Dreieck mit a = 4 LE, c = 6 LE, [math]\beta[/math] = 50°.
3. Konstruiere ein Dreieck mit a = 5 LE, c = 3 LE, [math]\alpha[/math] = 35°
[b][size=200]Hefteintrag: Weitere Kongruenzsätze[/size][/b][br]Zwei Dreiecke sind auch dann kongruent zueinander, wenn sie:[br][list=1][*]In einer Seite und den beiden daran angrenzenden Winkeln übereinstimmen (WSW)[/*][*]In zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS) oder[/*][*]In zwei Seiten und dem an die kürzere Seite angrenzenden zusätzlichen Winkel übereinstimmen (SsW).[br][br][br][b][size=200]Übungen[/size][/b][size=200][size=100][br]Konstruiere abwechselnd in Geogebra und auf dem Papier. Wechsle dich mit deiner Partnerin ab.[br]1. Konstruiere ein Dreieck mit c = 4 LE, b = 6 LE, = 110°[/size][/size][br][/*][/list]
Konstruiere ein Dreieck mit a = 3 LE, b = 4 LE, c = 5 LE.
3. Konstruiere ein Dreieck mit [math]\beta[/math] = [math]\gamma[/math] = 80°, a = 2 LE
Konstruiere ein Dreieck mit a = 4 LE, b = 6 LE, [math]\beta=120°[/math]
[b][size=200]Bonus[br][/size][/b][size=200][size=100]Konstruiere[/size][/size] ein Dreieck mit a = 6 LE, [math]\alpha[/math] = 50°, [math]\beta[/math] = 60°
Kongruenzsatz wsw
Bestimme die Höhe des Turms.[br]Peile dazu die Spitze von zwei Stellen an. (Du kannst die Figur am Fußpunkt verschieben.)[br]Zeichne eine maßstabsgetreue Skizze des Dreiecks und bestimme dessen Höhe. Mithilfe des Maßstabs solltest Du dann die Turmhöhe ermitteln können.