Attività: circonferenza, polig. in/circ, punti notevoli
Attività per lo studio di alcuni elementi della circonferenza, punti notevoli di un triangolo, poligoni inscritti e circoscritti. Contiene link a schede in pdf
Table of Contents
- Scheda 1
- Introduzione scheda 1
- Attività 1: posizione retta e circonferenza
- Attività 2: tangenti ad una circonferenza da punto esterno
- Attività 3: Posizione di una circonferenza rispetto ad un'altra
- Scheda 2
- Cosa abbiamo visto nella scheda 1
- Attività 1: angoli al centro e alla circonferenza
- Attività 2.a: relazione tra angolo al centro e angoli alla circonferenza
- Attività 2.b: dimostriamo il teorema
- Esercizi e corollari
- Scheda 3
- Attività 1 poligoni inscritti
- Attività 2 poligono circoscritto
- Tutti i poligoni sono inscrivibili e circoscrivibili?
- Scheda 4
- Punti notevoli
- Il circocentro
- L'incentro
- L'ortocentro
- Il baricentro
- Scheda 5
- Cosa abbiamo visto
- Attività 1: Poligoni regolari
- Dividere la circonferenza in archi congruenti
- Approfondimento: ciclotomia
- Alcuni esercizi svolti su poligoni regolari: 1
- Alcuni esercizi svolti su poligoni regolari: 2
- Punti notevoli triangoli e altri esercizi
- Esercizi sui punti notevoli triangolo
- Esercizi poligoni regolari
Introduzione scheda 1
Cosa occorre ricordare. Cosa vogliamo scoprire.
[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Wikiversity-Mooc-Icon-Learning-goals.svg/32px-Wikiversity-Mooc-Icon-Learning-goals.svg.png[/img] [br][list][*]Attività 1: posizione di una retta rispetto ad una circonferenza, distanza di una retta dal centro di una circonferenza[br][/*][*]Attività 2: tangenti ad una circonferenza da un punto esterno ad essa[/*][*]Attività 3: posizione di una circonferenza rispetto ad un'altra circonferenza[/*][/list][br][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Crystal_Clear_app_lists_fl_uk.png[/img]Cosa dobbiamo ricordare: [br][br][list][*]Definizione di circonferenza. Elementi della circonferenza: raggio, centro, corda [Zanichelli Verde 2, pag. G120][/*][*]Parti della circonferenza e del cerchio: arco, semicirconferenza, angolo al centro, settore circolare [pag. G120-121][br][/*][*]Strumenti di Geogebra: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon], [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circlepointradius.png[/icon], [icon]/images/ggb/toolbar/mode_compasses.png[/icon] per disegnare circonferenza (per un punto, centro e raggio, compasso). [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circlearc3.png[/icon], [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circlesector3.png[/icon], [icon]/images/ggb/toolbar/mode_semicircle.png[/icon] arco, settore, semicirconferenza.[/*][/list]
Cosa abbiamo visto nella scheda 1
[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Crystal_Clear_app_lists_fl_uk.png[/img][br][br]Attività 1: [b]Posizione di una retta [/b][b]rispetto ad una circonferenza[/b][b][br][/b][br][b]Definizione[/b] di retta esterna/tangente/secante alla circonferenza[b]Teorema [/b][i]Se la distanza di una retta dal centro della [/i][i]circonferenza è:[br][/i][list][*][i][i]maggiore [/i][i]del raggio allora la retta è esterna[/i][/i][/*][*][i][i]uguale al r[/i][i]aggio allora la retta è tangente[/i][/i][/*][*][i][i]minore del [/i][i]raggio allora la retta è secante[/i][/i][/*][/list][b] Viceversa [/b][i]Se la retta è [br][/i][list][*][i][i]e[/i][i]sterna [/i][i]allora la distanza dal centro è > raggio[/i][/i][/*][*][i][i]tangente [/i][i]allora la distanza dal centro è =raggio[/i][/i][/*][*][i][i]secante [/i][i]allora la distanza dal centro è < raggio[/i][/i][/*][/list][b]Corollario[/b]: [i]una retta tangente è perpendicolare al raggio condotto dal centro al punto di contatto.[/i][b]Costruzione[/b]: [i]data circonferenza e punto sulla circonferenza costruire la tangente[/i].[br][center][br]Pag. G 126 Pag. G127 ripercorri le attività per la "costruzione"/dimostrazione[/center]Attività 2: [b]Da un punto P esterno alla circonferenza possiamo condurre [i]due [/i]rette tangenti.[/b][br][br][b]Teorema[/b] [i]I segmenti di tangente (P-punto di contatto) sono congruenti[/i][br][br][b]Corollario[/b] Data una circonferenza centro O, P esterno e siano F ed E punti di tangenza, allora[br][list][*]OP è bisettrice di FPE e di FOP[/*][*]OP è asse di FE[/*][/list][br][right]PAG G 130[/right][br]Attività 3: [b]Posizione di una circonferenza rispetto ad un altra.[/b][br][br][b]Definizione[/b] di circonferenze secanti, tangenti (interne/esterne), esterne, interne.[br][br][b]Teorema[/b] Relazione tra due circonferenze, i raggi e le distanze dei centri .
[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Crystal_Clear_app_lists_fl_uk.png[/img] Quali comandi di Geogebra abbiamo utilizzato:[br][br][table] [tr] [td][br] Circonferenza[br][br] [/td] [td][br] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon]circonferenza dato centro e punto [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circlepointradius.png[/icon]circonferenza[br] dato centro e raggio [icon]/images/ggb/toolbar/mode_compasses.png[/icon]compasso.[br][/td] [/tr] [tr] [td][br] Punti[br][br] [/td] [td][br] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon]punto sul piano; [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon]punto intersezione tra oggetti; [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pointonobject.png[/icon] punto[br] su oggetto[br][/td][/tr][tr][td][br] Retta[br][br] [/td] [td][br] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon]retta per due punti; [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon]segmento;[icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon] retta perpendicolare, [icon]/images/ggb/toolbar/mode_tangent.png[/icon] retta tangente[br][br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] Altri[/td][td][br][br] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon] muovi, [icon]/images/ggb/toolbar/mode_distance.png[/icon] distanza (tra punti, punto/retta), [icon]/images/ggb/toolbar/mode_angle.png[/icon] angolo[/td] [/tr] [tr] [td][br] [/td][td][br][/td][/tr][tr][td][br][/td][td][br] [/td] [/tr][/table][br][br]
Attività 1 poligoni inscritti
Dopo aver letto/studiato le pagine da G130 a G131 e ricordato il [br][b]Teorema[/b][br]Se un poligono è: [br][list][*][b]inscritto [/b]in una circonferenza, gli [b]assi[/b] dei suoi lati si [b]incontrano nel centro[/b] della circonferenza[/*][*][b]circoscritto[/b] a una circonferenza, le [b]bisettrici [/b]dei suoi angoli [b]si incontrano nel centro [/b]della circonferenza.[/*][/list]
Eseguiamo la seguente costruzione:[br][br][list=1][*]Disegniamo una circonferenza [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon][/*][*]Scegliamo sulla circonferenza 5 (o più) punti a piacere [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_pointonobject.png[/icon][/*][*]Congiungiamo i punti per creare un poligono [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon] oppure utilizzare il comando poligono [icon]/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon][/*][*]Costruiamo l'asse di ciascun lato [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_linebisector.png[/icon][/*][/list]
Osserviamo
1) Gli assi si incontrano
2) Tale punto coincide con
Vediamo di spiegare perché accade tutto questo
1) Cosa è l'asse di un segmento?
2) Ogni lato del poligono rispetto alla circonferenza è
3) Rileggiamo il corollario al teorema a pag. G124.[br][br]Possiamo concludere che tutti i nostri assi passano per il centro della circonferenza
Punti notevoli
La scheda è scaricabile in [url=https://drive.google.com/open?id=0B9e3XwXJo5SIRERscHBDUmlEVjg]pdf[/url][br][br]Per quanto abbiamo visto nella precedente scheda: se riusciamo a dimostrare che[br][list][*][b]gli assi di un triangolo[/b] si incontrano in un punto, allora potremo affermare che t[b]utti [/b][b]i triangoli sono inscrivibili in una circonferenza.[/b][/*][*][b]le bisettrici di un triangolo s[/b]i incontrano in un punto, allora potremo affermare che tutti i triangolo sono circoscrivibili ad una circonferenza.[b][br][/b][/*][/list] [br]Un [b]punto notevole di un triangolo[/b] è un punto in cui si intersecano segmenti o rette particolari quali le altezze, le mediane, gli assi...
Cosa abbiamo visto
[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a9/Escrevendo.png[/img]Nella precedente scheda abbiamo studiato:[br][list][*]definizione e proprietà dei poligoni inscritti e circoscritti[/*][*]punti notevoli del triangolo[/*][*]tutti i triangoli sono inscrivibili e circoscrivibili[/*][/list][b][br]Potremmo chiederci se anche tutti i quadrilateri sono inscrivibili o circoscrivibili[/b][br][br]La risposta è [b]no[/b], come si può facilmente verificare con l'attività proposta nelle precedente scheda.[br][br]Nel libro a pag. G132-133 troviamo le condizioni necessarie e sufficienti affinché questo accada:[br][list][*]condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia [b]inscrivibile [/b]in una circonferenza è che abbia [b]gli angoli opposti supplementari[/b][/*][*]condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia [b]circoscrivibile [/b]a una circonferenza è che [b]la somma di due [/b][b]lati opposti sia congruente alla somma degli altri due lati.[/b][/*][/list]