El lugar geométrico de los puntos cuyo cociente de distancias a dos dados [color=#0000ff][b]A[/b][/color] y [color=#0000ff][b]B[/b][/color] es [b][color=#0000ff]k[/color] ≠ 1[/b], es una circunferencia de diámetro [color=#ff0000][b]MN[/b][/color] alineado con [color=#0000ff][b]AB[/b][/color], con [b]AM = AB/(1 + k)[/b] y [b]AN = AB/(1 - k)[/b], [b][color=#ff0000][i]circunferencia de Apolonio[/i][/color][/b], donde se consideran segmentos orientados, de forma que los puntos [color=#0000ff][b]{A, B}[/b][/color] separan a los puntos [color=#ff0000][b]{M, N}[/b][/color].[br][br]Si[b] [color=#0000ff]k[/color] = 1[/b] se trata de la mediatriz del segmento [color=#0000ff][b]AB[/b][/color].

Para verlo, si[b] [color=#0000ff]k [/color]≠1[/b], se determinan los puntos [b][color=#ff0000]M[/color][/b] y [color=#ff0000][b]N[/b][/color] como queda dicho. Para cualquier otro punto [color=#ff0000][b]C[/b][/color], por el [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Propiedad_Bisectriz.html]Teorema de la bisectriz[/url], que dice que los segmentos determinados por las bisectrices interior y exterior de un ángulo de un triángulo en el lado opuesto son proporcionales a los lados adyacentes, se tiene que la bisectriz interior de [b]∠ACB[/b] pasa por [color=#ff0000][b]M[/b][/color] y la exterior por [color=#ff0000][b]N[/b][/color]. Pero estas bisectrices forman un ángulo recto,  por lo que [color=#ff0000][b]C[/b][/color] está en la circunferencia de diámetro [b][color=#ff0000]MN[/color][/b]. El recíproco se ve fácilmente mediante semejanza de triángulos, trazando paralelas a [color=#38761d][b]CN[/b][/color] por[color=#ff0000][b] A[/b][/color] y [color=#ff0000][b]B[/b][/color]. Por tanto, el lugar geométrico es la circunferencia de diámetro [color=#ff0000][b]MN[/b][/color].[br][br]Los tres [b][i][color=#ff0000]círculos de Apolonio[/color][/i][/b] de dos vértices de un triángulo que pasan por el tercero se cortan en los dos [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Inversion_en_Triang_Equil.html]puntos isodinámicos[/url] del triángulo.[br][br]Los puntos [color=#ff0000][b]M[/b][/color] y [color=#ff0000][b]N[/b][/color] son [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/ConjugadoArmonico.html]conjugados armónicos[/url] respecto de los puntos [color=#0000ff][b]A[/b][/color] y [color=#0000ff][b]B[/b][/color], pues la razón doble es:[br][br] [b]RD(A, B, M, N) =RD(M, N, A, B) = (NB/NA)/(MB/MA) = k/(-k) = -1[/b][br][br]El conjugado armónico del punto medio es el punto del infinito, por lo que si [color=#ff0000][b]M[/b][/color] es el punto medio de [color=#0000ff][b]AB[/b][/color], [b][color=#0000ff]k[/color] = 1[/b], la circunferencia se transforma en la mediatriz de [color=#0000ff][b]AB[/b][/color].[br]