Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Sehne des Einheitskreises länger als eine Seite eines in diesen Kreis eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks ist?

Jede Sehne lässt sich eindeutig durch ihren Mittelpunkt angeben (die Sehne wird dann normal zur Verbindungslinie mit dem Kreismittelpunkt gebildet).[br]Der Mittelpunkt P der Sehne wird durch die kartesischen Koordinaten (x,y) angegeben.[br]Der Ereignisraum Ω[sub]1[/sub] ist auf diese Weise durch [math]\Omega_1= \left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R}^2 \, \text{|} \, 0< x^2 +y^2 <1 \right\}[/math] gegeben.[br][b]Ereignis A[sub]1[/sub][/b]: Die gewählte Sehne ist größer als die Dreiecksseite; [math]A_1= \left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R}^2 \, \text{|} \, 0< x^2 +y^2 < \frac{1}{4} \right\}[/math][br][b]Die Wahrscheinlichkeit für A[sub]1[/sub] beträgt [/b][math]\frac{1}{4}[/math][b].[/b][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Bewege den [color=#0000ff][b]Punkt P[/b][/color] und die [color=#0000ff][b]obere Spitze des Dreiecks[/b][/color], um dich mit der Problemstellung vertraut zu machen.[br]Zeige die Simulation an.

Der Mittelpunkt der Sehne kann auch durch seine Polarkoordinaten (r; φ) angegeben werden.[br]Der Ereignisraum Ω[sub]2[/sub] ist auf diese Weise durch [math]\Omega_2= \left\{ \left( r; \varphi \right) \in \mathbb{R}^2 \, \text{|} \, 0< r < 1; \, 0 \leq \varphi< 2 \pi \right\}[/math] gegeben.[br][b]Ereignis A[sub]2[/sub][/b]: Die gewählte Sehne ist größer als die Dreiecksseite; [math]A_2= \left\{ \left( r; \varphi \right) \in \mathbb{R}^2 \, \text{|} \, 0< r < \frac{1}{2} \right\}[/math][br][b]Die Wahrscheinlichkeit für A[sub]2[/sub] beträgt [/b][math]\frac{1}{2}[/math][b].[/b][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Bewege den [color=#0000ff][b]Punkt P[/b][/color] und die [color=#0000ff]obere Spitze des Dreiecks[/color].[br]Zeige die Simulation an.

Die Sehne kann auch durch einen Punkt am Rand des Kreises (d. h. durch die Bogenlänge b) und einem Winkel α zur Tangente angegeben werden.[br]Der Ereignisraum Ω[sub]3[/sub] ist auf diese Weise durch [math]\Omega_3= \left\{ \left( b; \alpha \right) \in \mathbb{R}^2 \, \text{|} \, 0 \leq b < 2r \pi ; \, 0 \leq \alpha < \pi \right\}[/math] gegeben.[br][b]Ereignis A[sub]3[/sub][/b]: Die gewählte Sehne ist größer als die Dreiecksseite; [math]A_3= \left\{ \left( b; \alpha \right) \in \mathbb{R}^2 \, \text{|} \, \frac{\pi}{3}< \alpha < \frac{2\pi}{3} \right\}[/math][b][br]Die Wahrscheinlichkeit für A[sub]3[/sub] beträgt [/b][math]\frac{1}{3}[/math][b].[br][br][/b][b]Aufgabe[br][/b]Bewege den [color=#0000ff][b]Punkt P[/b][/color] und die [color=#0000ff][b]obere Spitze des Dreiecks[/b][/color] sowie den Schieberegler für den Winkel α.[br]Zeige die Simulation an.

Das [b]Paradoxon [/b]besteht darin, dass es - je nach Wahl der Sehne - verschiedene Wahrscheinlichkeiten gibt.[br]Die Ursache liegt dabei in der Tatsache, dass die zufällige Auswahl einer Sehne nicht genau vorgegeben wird.