P, the 1st Hatzipolakis Parallelian point is constructed as follows:[br][list][*]Take a random point P.[/*][*]Let BA be the point where the line through P parallel to line BC meets line BA. [br]Let CA be the point where the line through P parallel to line BC meets line CA. [/*][*]Define CB, AB, AC, and BC cyclically. [/*][*] Define h(B,A) as the distance from the point B[sub]A[/sub] to the line CA, [br]and define five other distances cyclically. [/*][*]If P = X(1655), then h(B,A) + h(C,A) = h(C,B) + h(A,B) = h(A,C) + h(B,C)[br][/*][/list][br]The barycentric coordinates of this point depend on the lenghts of the sides of the triangle.[br]Compare the coordinates of the 1st Hatzipolakis Parallelian point X(1654) and the 2nd:[br]X(1654):  -a[sup]2[/sup] + b[sup]2[/sup] + c[sup]2[/sup] + bc + ca + ab ::[br]X(1655): -1/a[sup]2[/sup] + 1/b[sup]2[/sup] + 1/c[sup]2[/sup] + 1/(bc) + 1/(ca) + 1/(ab) ::

P, het 2dee Hatzipolakis-evenwijdigen-punt construeer je als volgt:[br][list][*]Neem een willekeurig punt P.[/*][*]Bepaal BA als het snijpunt van de evenwijdige door P aan BC met de rechte BA.[br]Bepaal CA als het snijpunt van de evenwijdige door P aan BC met de rechte CA. [/*][*]Definieer analoog CB, AB, AC en BC.[/*][*]Definieer h(B,A) als de afstand van B[sub]A[/sub] tot de rechte CA, [br]en definieer analoog nog 5 andere afstanden. [/*][*]Voor P = X(1655), geldt h(B,A) + h(C,A) = h(C,B) + h(A,B) = h(A,C) + h(B,C)[br][/*][/list][br]De barycentrische coördinaten van dit punt worden bepaald door de lengtes van de zijden van de driehoek.[br]Vergelijk de coördinaten van het 1ste Hatzipolakis-evenwijdigen-punt X(1654) en het 2de:[br]X(1654):  -a[sup]2[/sup] + b[sup]2[/sup] + c[sup]2[/sup] + bc + ca + ab ::[br]X(1655): -1/a[sup]2[/sup] + 1/b[sup]2[/sup] + 1/c[sup]2[/sup] + 1/(bc) + 1/(ca) + 1/(ab) ::