[list][*]Potensfunktioner [math]f\left(x\right)=b\cdot x^{a},a\ne0[/math] er injektive funktioner. Hver potensfunktion har en potensfunktion som invers.[/*][/list][br]Bevis:[br]Jeg skal vise, at jeg har en potensfunktion af som netop giver mig [math]x[/math] tilbage.[br][list][*]Jeg lægger ud med at skrive forskriften op [math]f\left(x\right)=b\cdot x^a=y[/math].[br][/*][*]Fra denne ligning vil jeg isolere [math]x[/math], hvorfor jeg først dividerer med [i]b:[/i] [math]x^a=\frac{y}{b}\Leftrightarrow[/math][/*][*]Så isolerer jeg [i]x[/i] ved at tage den [i]a[/i]'te rod på begge sider [math]\sqrt[a]{\frac{y}{b}}=x\Leftrightarrow[/math][/*][br][*]hvorefter jeg bruger rod-af-brøk-reglen og får [math]\sqrt[a]{\frac{y}{b}}=\frac{\sqrt[a]{y}}{\sqrt[a]{b}}=x\Leftrightarrow[/math][br][/*][*]Med brøk-gange-tal-reglen fås ydermere, at[math]f^{{-1}}\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt[a]{b}}y^{{\frac{1}{a}}}=x[/math][/*][/list][br]Her ser vi, at den inverse funktion [math]f^{^{-1}}[/math] har form som en potensfunktion: Konstant [math]\frac{1}{\sqrt[a]{b}}=b^{{-\frac{1}{a}}}[/math]gange potens med uafhængig variabel som grundtal, og konstant eksponent. Som kontrol indsætter jeg output [math]y[/math] fra den oprindelige funktion, [math]y=f\left(x\right)=b\cdot x^{a}[/math][br][list][math]x=f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=[/math][*][br][/*][/list]Altså er beviset færdigt.