Lineare Algebra ist unter anderem dazu da, um viele Rechnungen gleichzeitig zu erledigen. Das macht vor allem das Rechnen mit Gleichungssystemen sehr viel übersichtlicher und man spart dabei sehr viel Schreibarbeit und Zeit.p { line-height: 115%; margin-bottom: 0.25cm; background: transparent }

Sie sind Managerin eines Hotels der Hotelkette LLH (Living Like Home). Sie haben den Auftrag die Zimmer neu zu möblieren. Folgende Zimmertypen können bei Ihnen gebucht werden:[br][list][*]Singel (SI): Zimmer für eine Person[/*][*]Duo (DU): Zimmer für zwei Personen[/*][*]Family (FA): Zimmer für Eltern und 2 Kinder[/*][*]Groups (GRU): Zimmer für Jugendgruppen mit 6 Betten[/*][*]Speisesaal (SPEI): Raum mit 60 Sitzplätzen und 15 Tischen[/*][/list]Sie sollen Stühle, Tische, Betten und Schränke erneuern. Die Möbel werden wie folgt auf die Zimmertypen verteilt:[br][table] [tr][br] [td][/td][br] [td]SI[/td][br] [td]DU[/td][br] [td]FA[/td][br] [td]GRU[/td][br] [td]SPEI[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]Betten[/td][br] [td]1[/td][br] [td]2[/td][br] [td]4[/td][br] [td]6[/td][br] [td]0[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]Stühle[/td][br] [td]1[/td][br] [td]2[/td][br] [td]4[/td][br] [td]6[/td][br] [td]60[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]Tische[/td][br] [td]1[/td][br] [td]1[/td][br] [td]2[/td][br] [td]2[/td][br] [td]15[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]Schränke[/td][br] [td]1[/td][br] [td]1[/td][br] [td]2[/td][br] [td]3[/td][br] [td]4[/td][br][/tr][br][/table]In der Linearen Algebra ist es üblich, solche Zahlenblöcke als [b]Matrizen[/b] (Matrizen ist die Mehrzahl von [color=#980000][b]Matrix[/b][/color]) zu schreiben. Das ist einfach ein Block aus Zahlen, wie in der Tabelle oben, eingefasst von großen Klammern. Da hier in der Regel die Beschriftung fehlt, muss man sich allerdings gut merken, wofür die Zeilen und Spalten stehen. Hier steht zum Beispiel die erste Zeile für die Betten und die dritte Spalte für die Familienzimmer:[br][br][math]\mathbf M=\begin{pmatrix}[br]1&2&4&6&0\\[br]1&2&4&6&60\\[br]1&1&2&1&15\\[br]1&1&2&3&1[br]\end{pmatrix}[/math][br]

Die oben stehende Matrix heißt [math]\mathbf{M}[/math]. Die Namen von Matrizen sind meistens große Buchstaben. Es ist eine [math](4\times5)[/math]-Matrix (sprich: [color=#38761D][i]4 mal 5 Matrix[/i][/color]), das heißt sie hat 4 Zeilen und 5 Spalten. Man nennt die Bezeichnung [math](4\times5)[/math] die [color=#980000][b]Dimension[/b][/color] der Matrix. [br][br]Bei Matrizen gilt fast immer der Spruch: [color=#38761D][b]Zeilen zuerst, Spalten später[/b][/color]. [br][br]Die einzelnen Zahlen in der Matrix heißen [color=#980000][b]Matrixelemente[/b][/color]. Jedes Matrixelement bekommt als [b][color=#980000]Index[/color][/b] zwei Zahlen, die erste für die Zeile und die zweite für die Spalte: [math]m_{25}=60[/math] ist also das Element in der zweiten Zeile und der fünften Spalte.[br][br]

Wenn man bei einer Matrix Zeilen und Spalten vertauscht, dann entsteht die sogenannte [color=#980000][b]transponierte Matrix[/b][/color]. Diese Matrix wird mit einem hochgestellten [math]T[/math] gekennzeichnet:[br][math]\mathbf M=\begin{pmatrix}[br]1&2&4&6&0\\[br]1&2&4&6&60\\[br]1&1&2&1&15\\[br]1&1&2&3&1[br]\end{pmatrix}[/math] und [math]\mathbf M^T=\begin{pmatrix}[br]1&1&1&1\\2&2&1&1\\4&4&2&2\\6&6&1&3\\0&60&15&1[br]\end{pmatrix}[/math]

Eine [color=#980000][b]Einheitsmatrix[/b][/color] ist eine [i]quadratische Matrix[/i] (d.h. genau so viel Zeilen wie Spalten). Sie hat auf ihrer Diagonalen von links oben nach rechts unten Einsen und alle anderen Zahlen sind gleich Null:[br][math]E_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}[/math], [math]E_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}[/math], [math]E_4=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}[/math] usw. sind Einheitsmatrizen[br]Die Diagonale von links oben nach rechts unten heißt auch [color=#980000][b]Hauptdiagonale[/b][/color].

Eine Matrix, die nur [color=#980000]aus einer Zeile[/color] besteht, z.B. eine [math](1\times 5)[/math]-Matrix, wird auch [color=#980000][b]Vektor[/b][/color] genannt. Genauer gesagt ist dies ein [color=#980000][b]Zeilenvektor[/b][/color].[br][br][b]Ein Beispiel[/b]: [math]\vec v = \begin{pmatrix} 1&2&4&6&60\end{pmatrix}[/math] [br][br]Eine Matrix, die nur [color=#980000]aus einer Spalte[/color] besteht, z.B. eine [math](4\times 1)[/math]-Matrix, wird auch [color=#980000][b]Vektor[/b][/color] genannt. Genauer gesagt ist dies aber ein [color=#980000][b]Spaltenvektor[/b][/color].[br][br][b]Ein Beispiel[/b]: [math]\vec v = \begin{pmatrix} 6\\6\\1\\3\end{pmatrix}[/math] [br][br]An den Beispielen sieht man, dass Vektoren oft kleine Buchstaben sind. Am besten lassen sie sich aber an dem Pfeil erkennen, der über dem Namen zu sehen ist.

Gegeben ist die Matrix [math]\mathbf M=\begin{pmatrix}[br]1&2&4&6&0\\[br]1&2&4&6&60\\[br]1&1&2&1&15\\[br]1&1&2&3&1[br]\end{pmatrix}[/math]