[right][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] [color=#ff7700][i][b]8. April 2020[/b][/i][/color]).[br][color=#cc0000][i][b]Ergänzung[/b][/i][/color]: [color=#ff7700][i][b]04.06.2021[/b][/i][/color][/size][size=85][br][/size][/right][size=85][color=#38761D][u][i][b](Alt!)[/b][/i][/u][/color] Eine [color=#274E13][i][b]Parameterdarstellung[/b][/i][/color] für die [color=#ff7700][i][b]1-teiligen [/b][/i][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] ist schwieriger zu entwickeln als die für die 2-teiligen: [br]diese 1-teiligen Quartiken entstehen zwar auch als Schnitt der [color=#0000ff][i][b]Möbiusquadrik[/b][/i][/color] mit elliptischen oder hyperbolischen Zylindern. [br]Ein solcher Zylinder schneidet - besser gesagt - streift allerdings nur einen Teil der Möbiusquadrik, die in die[br]Ebene projizierte [color=#ff0000][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] liefert nur zu einem Teil die [color=#274E13][i][b]Parameterdarstellung[/b][/i][/color], die Parameter sind wegen [br]der fehlenden [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] schwer zu bestimmen![br][br][color=#cc0000][u][i][b]Neu (Juni 2021)![/b][/i][/u][/color][br]Im Applet sind sowohl die [color=#ff7700][i][b]Schnitt-Ellipse[/b][/i][/color] des [color=#0000ff][i][b]elliptischen Zylinders[/b][/i][/color] mit der [math]xy[/math]-Ebene, als auch die [color=#e69138][i][b]Schnittkurve[/b][/i][/color][br]mit der [color=#6d9eeb][i][b]Kugel[/b][/i][/color] parametrisiert.[br]Diese [/size][size=85][size=85][color=#e69138][i][b]Schnittkurve[/b][/i][/color][/size] wird stereographisch wieder in die [math]xy[/math]-Ebene projiziert.[br]Das Ergebnis ist eine 1-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] in [color=#134F5C][i][b]Parameter-Darstellung[/b][/i][/color].[br]Leider gelingt es uns nicht, die Parametrisierung direkt aus den Eigenschaften zu "konstruieren", wir erläutern[br]unten den Weg zur Parametrisierung.[br][br][color=#cc0000][i][b]Erklärungen:[/b][/i][/color][br]Im [color=#0000ff][i][b]Kugel-Modell[/b][/i][/color] der [b]Möbiusebene[/b] sind [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] Schnitte der [b]Riemannschen[/b]-Zahlenkugel mit einer[br]zweiten [color=#ff7700][i][b]Quadrik[/b][/i][/color].[br]Besitzt ein solcher Schnitt [b]4[/b] verschiedene [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], aber nur [b]2[/b] [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color], so liegen die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [br]spiegelbildlich auf 2 [color=#cc0000][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen.[/b][/i][/color] Mit einer geeigneten Möbiustransformation erhält man für die[br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf den Koordinaten-Achsen in [math]\mathbb{C}[/math] die Normalform [math]f,-f,\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math].[br]Im Applet oben sind der [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] und die [math]x[/math]-Achse die [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color].[br]Die schneidende [color=#ff7700][i][b]Quadrik[/b][/i][/color] ist ein zur [math]xy[/math]-Ebene senkrechter [color=#134F5C][i][b]Zylinder[/b][/i][/color], der die [math]xy[/math]-Ebene in einer [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] schneidet.[br]Diese [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color][/size] hat mit den [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color][/size] 2 [color=#6aa84f][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] gemeinsam; die Berührpunkte mit dem [/size][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color][/size][/size] sind [br]zwei der [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size]. Mit Hilfe der [/size][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size][/size] (Stichwort: Winkelhalbierende) kann man zu irgend einem [br]Punkt auf der [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color][/size][/size], der nicht auf der [math]x[/math]-Achse liegt, eine weitere [/size][size=85][size=85][color=#6aa84f][i][b]Tangente[/b][/i][/color][/size] konstruieren, durch Spiegelung [br]an der [math]x[/math]-Achse erhält man eine 4. [/size][size=85][size=85][color=#6aa84f][i][b]Tangente[/b][/i][/color][/size].[br]Zu 4 [color=#38761D][i][b]Geraden[/b][/i][/color] und einem [color=#38761D][i][b]Berührpunkt[/b][/i][/color] auf einer der [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Geraden[/b][/i][/color][/size] gibt es genau einen Kegelschnitt mit diesen [/size][size=85][size=85][color=#6aa84f][i][b]Tangenten[/b][/i][/color][/size] [br]und diesem Berührpunkt. Diesen Kegelschnitt ([/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color][/size][/size]) haben wir mit einem [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#material/ndfvacch]benutzerdefinierten Werkzeug[/url] erstellt.[br]Eine Parametrsierung erhält man mit Hilfe des Mittelpunktes [math]m[/math] und der Scheitelpunkte [math]\pm s_x,\pm s_y[/math] [br][list][*] [math]t\mapsto m+a\cdot \cos\left(t\right)+b\cdot i\cdot \sin\left(t\right)[/math] mit [math]a=\left|s_x-m\right|[/math] und [math]b=\left|s_y-m\right|[/math][/*][/list]Diese Parametrisierung projiziert man senkrecht auf die [color=#0000ff][b]Möbius-Kugel[/b][/color] [math]o_{\left\{\pm\right\}}\left(z\right)=o_{\left\{\pm\right\}}\left(x+i\cdot y\right):=\left(x,y,\pm\sqrt{1-\left|z\right|^2}\right)[/math][br]und dann mit [color=#0000ff][i][b]stereographischer Projektion[/b][/i][/color] [math]st_{\left\{\pm\right\}}\left(z\right):=\frac{1}{1\pm\sqrt{1-\left|z\right|^2}}\cdot z[/math] in die komplexe Ebene [math]\mathbb{C}[/math].[br]Siehe auch die Seite über [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/m9kxcdrq]Projektionen[/url].[br][br]Unten wird die parametrisierte Kurve durch eine [color=#0000ff][b]Möbius-Transformation[/b][/color] in [i][b]Normalform[/b][/i] transformiert:[br]Die [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][b]Möbius-Transformation[/b][/color][/size] [math]Tz:=\frac{z-1}{z+1}[/math] bildet den [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color][/size] auf die [math]y[/math]-Achse und die [math]x[/math]-Achse auf sich ab [br]mit [math]-1\mapsto\infty,0\mapsto-1,1\mapsto0,i\mapsto i[/math].[br][/size]