[size=85][size=85][size=85][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebrabooks[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/b][/i][/color] ([color=#ff7700][i][b]14.09.2021[/b][/i][/color])[/right][/size][/size][/size][br]Aufgezählt werden nur [i][b]Invarianten[/b][/i] unter gleichsinnigen [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color].[br]Es ist ein Leichtes, die Wirkung von ungleichsinnigen [color=#0000ff][i]Transformationen[/i][/color], insbesondere von [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]-[color=#f1c232][i][b]Spiegelungen[/b][/i][/color][br]zu ermitteln.[br][br][/size][list][*][size=85]Das [color=#cc0000][i][b]komplexe Doppelverhältnis[/b][/i][/color] von [b]4[/b] (verschiedenen) [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color] ist, abhängig von der Reihenfolge, invariant.[/size][br][/*][*][size=85]Die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] von [b]4[/b] verschiedenen Punkten ist invariant, unabhängig von der Reihenfolge.[/size][/*][*][size=85]Die [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Gruppe[/b][/i][/color] von [b]4[/b] verschiedenen Punkten ist eine Invariante:[br][list][*]ist die absolute Invariante reell und größer als 0, so gibt es 4 paarweise orthogonale Symmetrie-Kreise[/*][*]ist die absolute Invariante reell, kleiner als 0 und von -1 verschieden, [br]so gibt es 2 orthogonale Symmetrie-Kreise[/*][*]ist die absolute Invariante gleich 0, so liegen die Punkte harmonisch, [br]Symmetrie-Gruppe ist eine Oktaeder-Gruppe[/*][*]die größte Symmetrie-Gruppe liegt vor, wenn die absolute Invariante den Wert -1 annimmt. [br]Symmetrie-Gruppe ist eine Tetraeder-Gruppe![/*][/list][br][/size][/*][*][size=85]Die [/size][size=85][size=85][i][b]absolute Invariante[/b][/i] charakterisiert[/size] auch [color=#0000ff][i][b]elliptische Differentialgleichungen[/b][/i][/color] und deren [color=#0000ff][i][b]Lösungen[/b][/i][/color] [/size]: [size=85][br]die [color=#0000ff][i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i][/color][/size] [/*][*][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] und [color=#38761D][i][b]Winkel[/b][/i][/color] zwischen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] sind invariant[/size][/*][*][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] und deren Typ ([color=#ff0000][i][b]elliptisch[/b][/i][/color], [color=#ff0000][i][b]hyperbolisch[/b][/i][/color] oder [color=#ff0000][i][b]parabolisch[/b][/i][/color]) sind invariant[/size][/*][*][size=85]Die [color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color] von [b]2[/b] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color] erzeugen eine spezielle [i][b]Klasse[/b][/i] von [color=#9900ff][i][b]Kurven[/b][/i][/color] in der [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color]: [br]Diese [/size][size=85][size=85][i][b]Klasse[/b][/i][/size] besteht aus den [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformierten[/b][/i][/color] von [i][b]CASSINI[/b][/i]-Kurven und in 2 [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zerfallenden [/size][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]Kurven[/b][/i][/color][/size]. [br]Es handelt sich um eine [i][b]Teilklasse[/b][/i] der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color], deren [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color][/size] sich durch das Verschwinden [br]der Determinante der definierenden [b]HERMITEschen[/b] Form charakterisieren lassen.[/size][/*][*][size=85]Die [/size][size=85][size=85][size=85][i][b]Klasse[/b][/i][/size][/size] der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color]; zusammen mit [b]4[/b] geeigneten [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] sind [color=#38761D][i][b][br]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] Invarianten der [color=#0000ff][i][b]Möbiusgruppe[/b][/i][/color].[/size][/*][*][size=85]Die Klasse der [color=#cc0000][i][b]meromorphen komplex-analytischen Funktionen[/b][/i][/color] ist invariant [br]unter [i]gleichsinnigen[/i] [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color].[/size][br][/size][/*][/list]