3BB Découvrir l'ensemble de Mandelbrot - ceci n´est pas un vrai cours:-)

[color=#1551b5]Bouger le point A (en blanc) pour voir l'orbite de 0 dans la transformation de Mandelbrot:[/color][br][br][math]z\mapsto z^2+z_A[/math][br][br][math]z_0=0[/math], donc [math]z_1=0^2+z_A=z_A[/math], et [math]z_2=z_1^2+z_A[/math] et ainsi de suite.[br]Les points connectés par une ligne polygonale correspondent aux termes successifs [math]z_n[/math] de cette suite.[br]L'ensemble de Mandelbrot est dessiné en noir.[br][url=http://prof.pantaloni.free.fr/]http://prof.pantaloni.free.fr/[/url]

[list][*]Vous pouvez assigner une valeur particulière à $z_A$ en tapant par exemple: A=(0.2,0.3) dans la barre de saisie en bas. (Input)[br][/*][/list]

C'est quoi cet ensemble bizarre?

Bouger le point A dans la zone noire (ensemble de Mandelbrot) et à l'extérieur de cette zone. Qu'observez vous?

Quand A est dans la zone noire, la suite est toujours bornée. Quand A est en dehors de la zone noire, la suite n'est pas bornée. Quand A est dans la zone noire, la suite est toujours convergente. Quand A est dans la zone noire, la suite est toujours périodique. Quand A est en dehors de la zone noire, la suite tend vers l'infini.

Les bulbes.

L'ensemble de Mandelbrot comporte différents "bulbes" circulaires. Promenez le point A dans ces différents bulbes pour observer le comportement de la suite.[br]Quel est le comportement de la suite lorsque A est dans le plus gros bulbe à gauche?

La suite semble tendre vers un cycle de période 2. Je ne vois rien de spécial. La suite est périodique de période 2.

Les autres bulbes.

Quel est le comportement de la suite dans les différents bulbes?

Elle semble être attirée vers un comportement cyclique dont la période dépend du bulbe. Elle semble être attirée vers un comportement cyclique de période 4. Elle semble être attirée vers un comportement cyclique de période 5. Elle semble être attirée vers un comportement cyclique de période 3.

Bulbe et sous bulbes

Que se passe-t-il lorsqu'on passe d'un bulbe à son plus gros sous-bulbe?

On obtient toujours le même comportement périodique, de même période. Le cycle attracteur a une période qui double. Je ne comprends pas cette histoire de sous bulbe.

Autres sous-bulbes.

Plus généralement, que se passe-t-il lorsqu'on passe d'un bulbe à sous-bulbe?

Le cycle attracteur a une période qui est un multiple de la période du bulbe initial. Pfff c'est dur à dire, on voit pas bien! Le cycle attracteur a la période du bulbe initial.

Ensemble de Mandelbrot

Lesquels des points A dont on donne l'affixe [math]z_A[/math] appartiennent à l'ensemble de Mandelbrot?

[math]z_A=0[/math] [math]z_A=i[/math] [math]z_A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i[/math] [math]z_A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i[/math] [math]z_A=-1[/math] [math]z_A=\frac{-1}{10}-\frac{4}{5}i[/math]