복소다항식 [math]f\left(x\right)=Ax+B[/math]와 복소수 [math]z_1[/math]에 대하여 [math]z_{n+1}=f\left(z_n\right)[/math]과 같이 정의된 복소수열 [math]\left\{z_n\right\}[/math]이 있을 때, [math]z_1[/math]의 궤도에 대하여 탐구해보자. (단, [math]A[/math], [math]B[/math]는 복소수)[br][br]앞서 실수열의 변화를 거미줄그림으로 나타내었듯이 복소수열의 변화도 그림으로 나타내면 특징을 한 눈에 알아볼 수 있다. 복소수열의 궤도를 복소평면에 나타내어보고, 그 특징에 대해 탐구해보자.

[math]f\left(x\right)=2x[/math], [math]z_{n+1}=f\left(z_n\right)[/math]인 수열 [math]\left\{z_n\right\}[/math]이 있다.[br][br][math]z_1=1+i[/math]일 때, 각 항은 다음과 같다.[br][math]1+i[/math], [math]2+2i[/math], [math]4+4i[/math], [math]8+8i[/math], [math]16+16i[/math], [math]\cdots[/math][br][br][math]z_1=-2i[/math]이면, 각 항은 다음과 같다.[br][math]-2i[/math], [math]-4i[/math], [math]-8i[/math], [math]-16i[/math], [math]-32i[/math], [math]-64i[/math], [math]\cdots[/math][br][br]궤도를 복소평면에 나타내면 그림과 같다.[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/grvpunss/aa62l3FslC1UcvqR/material-grvpunss.png[/img]

[math]f\left(x\right)=x+\left(2+3i\right)[/math], [math]z_{n+1}=f\left(z_n\right)[/math]인 수열 [math]\left\{z_n\right\}[/math]을 아래 지오지브라 애플릿을 이용하여 첫째항을 하나 정한 후, 궤도를 나타내어보자.[list][*]입력창에 다음과 같이 입력하면 복소함수 [math]f\left(x\right)=x+\left(2+3i\right)[/math]을 만들 수 있다. [br] [b][i]f(x)=x+2+3i[/i][/b][br][/*][*][b]복소수[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_complexnumber.png[/icon] 도구를 선택하여 복소수를 만든 후, [b]다음항[/b] 도구를 이용하여 궤도를 나타내어보자.[/*][/list][list][*][b]다음항[/b] [img]https://www.geogebra.org/resource/zfffrzyx/Nhj52gCux5w7Xw7a/material-zfffrzyx.png[/img] 도구를 선택한 후, 복소수 z[sub]1[/sub]과 복소함수 f(x)를 선택하면 f(z[sub]1[/sub])이 만들어진다. 복소수와 복소함수를 선택할 때, 대수창에 있는 대상의 동그라미 옆 부분(노란색 부분)을 선택하면 된다.[br] [img]https://www.geogebra.org/resource/ybjkscfq/mW6KzIZSQcp97QO8/material-ybjkscfq.png[/img][br]도구를 입력하지 않고, 아래와 같이 명령을 이용해도 된다.[br][b] 다음항(<복소수>,<복소함수>)[br][/b]예를 들어, 복소수 z1과 복소함수 f(x)가 있을 때, 입력창에 다음과 같이 입력한다.[br][b] 다음항( z_1 , f )[/b][/*][/list]

[math]f\left(x\right)=ix[/math], [math]z_{n+1}=f\left(z_n\right)[/math]인 수열 [math]\left\{z_n\right\}[/math]을 아래 지오지브라 애플릿을 이용하여 첫째항을 하나 정한 후, 궤도를 나타내어보자.[list][*]입력창에 다음과 같이 입력하면 복소함수 [math]f\left(x\right)=ix[/math]을 만들 수 있다. [br] [b][i]f(x)=i x[/i][/b][br][/*][*][b]복소수[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_complexnumber.png[/icon] 도구를 선택하여 복소수를 만든 후, [b]다음항[/b] 도구를 이용하여 궤도를 나타내어보자.[/*][/list]

[math]f\left(x\right)=\left(\frac{1+i}{2}\right)x[/math], [math]z_{n+1}=f\left(z_n\right)[/math]인 수열 [math]\left\{z_n\right\}[/math]을 아래 지오지브라 애플릿을 이용하여 첫째항을 하나 정한 후, 궤도를 나타내어보자.[list][*]입력창에 다음과 같이 입력하면 복소함수 [math]f\left(x\right)=\left(\frac{1+i}{2}\right)x[/math]을 만들 수 있다. [br] [b][i]f(x)=(1+i)x/2[/i][/b][br][/*][*][b]복소수[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_complexnumber.png[/icon] 도구를 선택하여 복소수를 만든 후, [b]다음항[/b] 도구를 이용하여 궤도를 나타내어보자.[/*][/list]

[math]f\left(x\right)=\left(1+i\right)x[/math], [math]z_{n+1}=f\left(z_n\right)[/math]인 수열 [math]\left\{z_n\right\}[/math]을 아래 지오지브라 애플릿을 이용하여 첫째항을 하나 정한 후, 궤도를 나타내어보자.[list][*]입력창에 다음과 같이 입력하면 복소함수 [math]f\left(x\right)=\left(1+i\right)x[/math]을 만들 수 있다. [br] [b][i]f(x)=(1+i)x[/i][/b][br][/*][*][b]복소수[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_complexnumber.png[/icon] 도구를 선택하여 복소수를 만든 후, [b]다음항[/b] 도구를 이용하여 궤도를 나타내어보자.[/*][/list]

[math]f\left(x\right)=x^2[/math], [math]z_{n+1}=f\left(z_n\right)[/math]인 수열 [math]\left\{z_n\right\}[/math]을 아래 지오지브라 애플릿을 이용하여 첫째항을 하나 정한 후, 궤도를 나타내어보자.[list][*]입력창에 다음과 같이 입력하면 복소함수 [math]f\left(x\right)=x^2[/math]을 만들 수 있다. [br] [b][i]f(x)=(x+0i)^2[/i][/b][br][/*][*][b]복소수[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_complexnumber.png[/icon] 도구를 선택하여 복소수를 만든 후, [b]다음항[/b] 도구를 이용하여 궤도를 나타내어보자.[/*][/list]