[justify]Muitos problemas cotidianos se ocupam na determinação de quantidades inteiras tais como o número de alunos e alunas do curso de Lógica, ou o número de patas de carneiros e galinhas de um quintal. Esses problemas são denominados problemas Lineares indeterminados e nós iremos apresentar uma possível solução através das [i]Equações Diofantinas Lineares[/i].[/justify]

[justify]Roberto tem em sua carteira cédulas de R$ 2,00 e R$ 5,00. Ele deseja pagar R$ 26,00 por uma refeição no restaurante da faculdade. De quantas maneiras distintas, utilizando pelo menos uma cédula de cada tipo das que constam na carteira de Roberto, podemos pagar a refeição? e quais são elas?[br][br][i]Modelando matematicamente o problema:[br][br]vamos chamar de [/i][math]x[/math][i] a quantidade de cédulas de R$ 2,00 e de [/i][math]y[/math][i] a quantidade de cédulas de R$ 5,00. Assim, teremos a equação:[br][br][/i][math]2x+5y=26[/math][i][br][br][/i]Este tipo de equação representa um grupo de equações especiais que iremos definir a seguir.[/justify]

[justify]Uma equação diofantina linear em duas variáveis é uma expressão da forma[br][br] [math]ax+by=c[/math] [br][br]na qual [math]a,b[/math] e [math]c[/math] são inteiros, com [math]a[/math] e [math]b[/math] não simultaneamente nulos e cujas soluções estão restritas ao conjunto dos números inteiros.[/justify]

[justify]Uma solução desse tipo de equação é um par de inteiros [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] tal que[br][br][math]ax_0+by_0=c[/math][br][br]Por exemplo, a equação do problema motivador tem como solução particular o par de inteiros [math]\left(3,4\right)[/math]. De fato,[br][br][math]2\cdot\left(3\right)+5\cdot\left(4\right)=6+20=26[/math][br][br][/justify]

[i][b]Reflita e responda:[/b][/i][br]Ao mover o controle t você encontrou três soluções. Todas elas satisfazem o problema motivador?

Uma maneira de resolver uma equação diofantina linear é por meio da tentativa e erro. Acreditasse que durante a Idade Média esse tenha sido o método mais utilizado para solucionar tais equações. Para muitos problemas, o método da tentativa e erro pode levar a uma busca incessantemente dolorosa se forem necessárias muitas tentativas. [br][br]Além disso, algumas equações diofantinas lineares não admitem solução inteira, como é o caso da equação[br][br][math]2x-4y=7[/math].[br][br]Com efeito, suponhamos, por absurdo, que [math]\left(x_{0,}y_0\right)[/math] seja uma solução dessa equação, isto é:[br][br][math]2x_0-4y_0=7[/math],[br][br]ou ainda[br][br][math]x_0=\frac{7+4y_0}{2}[/math].[br][br]O numerador dessa fração é um número ímpar para qualquer valor inteiro de [math]y_0[/math], ou seja, a divisão do numerador por 2 não será um número inteiro. Portanto, a equação dada não possui solução inteira.[br][br]A proposição a seguir nos dará a condição necessária e suficiente para sabermos se uma equação diofantina linear possui ou não soluções, e a partir daí possibilitarmos o cálculo das suas soluções.[br]

[justify][b]Proposição:[/b] A equação diofantina linear [math]ax+by=c[/math] admite solução inteira se, e somente se, o máximo divisor comum entre [math]a[/math] e [math]b[/math] divide [math]c[/math].[br][br][i]Demonstração:[br]seja [math]d=mdc\left(a,b\right)[/math]. Se [math]d\mid c[/math], então existe um inteiro [math]m[/math] tal que [math]c=dm[/math]; além disso, existem inteiros [math]x_0[/math] e [math]y_0[/math] tais que[br][br][math]ax_0+by_0=d[/math].[br][br]logo,[br][br][math]ax_0m+by_0m=dm=c[/math][br][br]e por tanto, [math]\left(mx_0,my_0\right)[/math] é uma solução da equação.[br][br]Reciprocamente, suponhamos que [math]\left(x_{0,}y_0\right)[/math] seja uma solução da equação, isto é:[br][br][math]ax_0+by_0=c[/math].[br][br]Como [i] [math]d\mid a[/math] e [i] [math]d\mid b[/math], então [i] [math]d\mid\left(ax_0+by_0\right)=c[/math]. [/i][/i][/i][/i][/justify]