[url=https://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf]Kochen mit Jordan(pdf)[sub][/sub][/url][math]\nearrow[/math]danielwinkler[br][br]A:={{5,-1,-3,2,-5},{0,2,0,0,0},{1,0,1,1,-2},{0,-1,0,3,1},{1,-1,-1,1,1}}[br][br][size=85](8) EW:={2,3} [color=#1155Cc]zwei Eigenwerte[/color][/size][br]([size=85]9) DimEigenraum :={2,1} [color=#1155Cc] 2 Basisvektoren/Eigenvektoren zu [size=85][color=#1155Cc]λ[/color][/size]=2, [size=85][color=#1155Cc]1 [size=85][color=#1155Cc]Basisvektor/Eigenvektor[/color][/size] zu λ[/color][/size]=3 [/color] [/size][br][size=85](14) EVi:={{1, 0, 1, 0, 0}, {2, 1, 0, 0, 1}, {-1, 0, 0, 1, 0}} [color=#1155Cc]2+1 Eigenvektoren berechnet (zeilenweise geschrieben)[/color][/size][br][br]Hauptvektorsuche[br]HV∈(A-λE)[sup]N[/sup] ∧ dim(kern(A-λE)[sup]N[/sup])=n ∧ HV∉Kern(A-λE)[sup]N-1[/sup] ∧ dim(Kern(A-λE)[sup]N-1[/sup])=k Anzahl Jordanblöcke [br][br][size=85](19) LGHV1:=(A-λE)^N[color=#1155Cc] Wähle die Potenz N so, daß dim(Kern( (A-λE)[sup]N[/sup])=n entsprechend viele Kandidaten hat (5)[/color] [/size] [br][size=85](20) LHV1:=Solutions(LGHV1 X,X)[br](21) HVKandidaten1 [color=#1155Cc]3 Stück der 1. Stufe [/color][/size][br][size=85](22) KernHV1:=(A-λE)[sup]N-1[/sup]HVKandidaten1 [color=#1155Cc] Kandidaten landen im Kern ({0} Vektor) ==> scheiden aus - in diesem Fall Kandidat[sub]1+3[/sub]! Der verbliebene Kandidat landet auf dem 1.Eigenvektor ==> es kann nur ein Jordanblock aus der 1. Stufe herausgezogen werden, ergänzt durch EVi[sub]2[/sub] ==> ergibt N=3 HVs, [/color][/size][br][size=85](25) HV12:=(A-λE) HVKandidaten1 [color=#1155Cc]HV12[sub]2[/sub] enthält den HV [/color] [/size][br][size=85](24) HV11:=(A-λE) HV1u2 [color=#1155Cc]trägt nichts bei ==> setze EV1[sub]2[/sub] ein [/color] [/size][br][br]Damit ist die 1. Stufe abgeschlossen { HV12[sub]2[/sub], HVKandidaten1[sub]2[/sub]} enthalten mögliche Hauptvektoren für den ersten Jordanblock. Als HV fasse ich alle Vektoren einer Spalte zusammen. z.B hv1=2[br][size=85](31) T={[size=85]EVi[sub]2[/sub][/size], HV12[sub]2[/sub],HVKandidaten1[sub]2[/sub],...}[br][/size][br][size=85](25) LHV2=Solutions((A-λE)^(N-1) X=0,X) [br][color=#1155Cc]das oben beschriebene Verfahren für (A-λE)[sup]N[/sup] wird nun der 2.EW für (A-λE)[sup]N-1[/sup] = (A-λE)^2 durchgeführt [/color][/size][br][size=85](26) HVKandidaten2 [color=#1155Cc]enthält Kandidaten für hv2=spalte der möglichen HVs des 2. EW[/color][br](27) HV21:=(A-λE) HVKandidaten2[color=#1155Cc] trägt nichts bei ==> EVi[sub]3 [/sub][/color][color=#1155Cc][sub][br][/sub](HV2w1[sub]23[/sub] zeigt das HVKandidaten2[sub]23[/sub] linear abhängige HV sind - es sind keine höheren Potenzen von (A-λE) zu betrachten)[/color][br](31) T={[size=85]EVi[sub]2[/sub], [/size]HV12[sub]2[/sub], HVKandidaten1[sub]2[/sub], [size=85]EVi[sub]3[/sub][/size], HVKandidaten2[sub]2[/sub]}[br][/size]

[br]A:={{1,-2,0,-1,2},{1,-3,-1,0,3},{0,2,1,-1,-3},{1,0,0,-1,-2},{0,-1,0,0,2}}[br]3 Hauptvektoren höchster Stufe aus Kern(A-[math]\lambda[/math]E)[sup]3[/sup][br]2 Hauptvektoren zweiter Stufe aus Kern(A-[math]\lambda[/math]E)[sup]2[/sup][br][br][size=85](8) Eigenwerte:={0} [color=#1155Cc]einziger Eigenwert[/color][/size][br]([size=85]9) DimEigenraum :={2} [color=#1155Cc] 2 Basisvektoren/Eigenvektoren[/color] [/size][br][size=85](14) EVi:={{{1, 0, 1, 1, 0}, {2, 2, -1, 0, 1}}} [color=#1155Cc]2 Eigenvektoren berechnet (zeilenweise geschrieben)[/color][/size][br][br]Hauptvektorsuche[br]HV∈(A-λE)[sup]N[/sup] ∧ dim(kern(A-λE)[sup]N[/sup])=n ∧ HV∉Kern(A-λE)[sup]N-1[/sup] ∧ dim(Kern(A-λE)[sup]N-1[/sup])=k Anzahl Jordanblöcke [br][br][size=85](19) LGHV1:=(A-λE)^N[color=#1155Cc] Wähle die Potenz N so, daß dim(Kern( (A-λE)[sup]N[/sup])=n entsprechend viele Kandidaten hat (5)[/color] [/size] [br][size=85](20) LHV1:=Solutions(LGHV1 X,X)[br](21) HVKandidaten1:={e1,e2,e3,e4,e5} [color=#1155Cc]n Stück der 1. Stufe [/color][/size][br][size=85](22) KernHV1:=(A-λE)[sup]N-1[/sup]HVKandidaten1 [color=#1155Cc] Kandidaten landen im Kern ({0} Vektor) ==> scheiden aus - in diesem Fall Kandidat[sub]4[/sub]! Alle anderen Kandidaten landen auf dem 2.Eigenvektor ==> es kann nur ein Jordanblock aus der 1. Stufe herausgezogen werden der Länge N=3, HVvektoren u1,u2,u3 ==> u3=Kandidat[sub]1235[/sub][/color][/size][br][size=85](23) HV1u2:=(A-λE) HVKandidaten1 [color=#1155Cc]HV1u2[sub]1235[/sub] enthält die Kandidaten für u2 [/color] [/size][br][size=85](24) HV1u1:=(A-λE) HV1u2 [color=#1155Cc]HV1u1[sub]1235[/sub] enthält die Kandidaten für u1 [/color] [/size][br][br]Damit ist die 1. Stufe abgeschlossen {HV1u1[sub]1235[/sub], HV1u2[sub]1235[/sub], HVKandidaten1[sub]1235[/sub]} enthalten mögliche Hauptvektoren {u1,u2,u3} für den ersten Jordanblock. Als HV fasse ich alle Vektoren einer Spalte zusammen. z.B u=2[br][size=85](31) T={HV1u1[sub]2[/sub],HV1u2[sub]2[/sub],HVKandidaten1[sub]2[/sub],...}[br][/size][br][size=85](25) LHV2=Solutions((A-λE)^(N-1) X=0,X) [br][color=#1155Cc]das oben beschriebene Verfahren für (A-λE)[sup]N[/sup] wird nun in 2. Stufe für (A-λE)[sup]N-1[/sup] = (A-λE)^2 durchgeführt [/color][/size][br][size=85](26) HVKandidaten2 [color=#1155Cc]enthält Kandidaten für w[sub]i[/sub]=HVs der 2. Stufe[/color][br](27) HV2w1:=(A-λE) HVKandidaten2[color=#1155Cc] Kandidaten für w1[/color] = [color=#1155Cc]HV2w1[sub]124[/sub] ==> für w2 = HVKandidaten2[sub]124[br][/sub](HV2w1[sub]23[/sub] zeigt das HVKandidaten2[sub]23[/sub] linear abhängige HV sind - es sind keine höheren Potenzen von (A-λE) zu betrachten)[/color][br]u=1,[b]2[/b],3,5, w=1,[b]2[/b],3,4[br](31) T={HV1u1[sub]2[/sub],HV1u2[sub]2[/sub],HVKandidaten1[sub]2[/sub], HV2w1[sub]2[/sub], HVKandidaten2[sub]2[/sub]}[br][/size][br][size=85]in Arbeit/at work[/size]

Auszug aus: [url=https://martin-thoma.com/wie-berechnet-man-die-jordansche-normalform/]Wie berechnet man die Jordan'sche Normalform?[/url][math]\nearrow[/math][br][br]Sobald man die Zerlegung des charakteristischen Polynoms pA(λ) in Linearfaktoren hat, kann man die Eigenwerte und die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte direkt ablesen. Die Eigenwerte stehen in der Jordanmatrix auf der Diagonalen. Die algebraische Vielfachheit entspricht der Seitenlänge des quadratischen Jordanblocks.[br][br][size=150]Anzahl der Jordankästchen bestimmen[/size][br][br]Jeder Eigenwert hat genau einen Jordanblock. Jeder Jordanblock hat wiederum Jordankästchen. [br][math] J=\left(\begin{array}{cccc}A_{\lambda_{1}} & & & 0 \\ & A_{\lambda_{2}} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & A_{\lambda_{k}}\end{array}\right)[/math][br]A[sub]λi[/sub] sind die Jordanblöcke zu den Eigenwerten λi. Die Einzelnen Jordanblöcke:[br][br][math] A_{\lambda_{i}}=\left(\begin{array}{ccccc}\textcolor{red}{\lambda_{i}} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} & & 0 \\ & \textcolor{red}{\lambda_{i}} & \textcolor{red}{1} & & \\ & & \textcolor{red}{\lambda_{i}} & & \\ & & & \ddots & 0\\ 0 & & & & \textcolor{blue}{\lambda_{i}}\end{array}\right)[/math][br]Einzelner Jordanblock mit zwei (rot/blau) Jordankästchen. [br][br]Jedes Jordankästchen ist quadratisch, hat auf der Diagonalen den Eigenwert und auf der oberen Nebendiagonale 1er. Sonst sind nur 0er im Jordankästchen. Außerhalb der Jordankästchen sind im Jordanblock nur 0er. Insbesondere können also auf der oberen Nebendiagonalen des Jordanblocks 0er stehen![br][br]Es gilt:[br]geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ=dimE[sub]λ [/sub]≤ algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λ[br][br]dimE[sub]λ[/sub] = dim Kern(A−λ⋅I)=Anzahl der Jordankästchen im Jordanblock zu λ[br][br]Außerdem gilt:[br]Die Größe des größten Jordankästchens zum Eigenwert λi ist gleich der Potenz, mit der der Linearfaktor (x−λ[sub]i[/sub]) im [b]Minimalpolynom [/b]vorkommt.[br][br]Nun kann man häufig schon schlussfolgern, welche Größe die einzelnen Jordankästchen haben.[br]Zusätzlich haben ähnliche Matrizen die gleiche Spur, die gleiche Determinante und den gleichen Rang. Das könnte helfen um "falsche" Jordanmatrizen auszuschließen.Damit ist die Jordansche Normalform der Matrix häufig schon bestimmt.[br]