Die Geometrische Folge ist eine regelmäßige Abfolge von Zahlen die uns im Alltag relativ oft[br]begegnet und in vielen Aspekten der Mathematik begleitet ohne dass es uns bewusst ist. Sie kommt überall vor, wo -allgemein und kompliziert formuliert- periodische, also sich wiederholende Prozesse eine relative Veränderung bewirken, also zum Beispiel bei Wachstums- und Teilungsprozessen.[br][br]Eine [b]Geometrische Folge[/b] ist entsprechend eine Folge von Zahlen[br][math]\left(a_k\right)=\left(a_{0,}a_1,a_2,a_{3,}\ldots\right)[/math][br]mit [math]a_0\ne0[/math],für die folgende Eigenschaft, mit [math]q\ne0[/math], [math]q\in\mathbb{R}[/math] und [math]i\in\mathbb{N}[/math]gilt[br][math]a_i=a_0\cdot q^i[/math][br][br]Das i-te Folgenglied wird demnach errechnet, in dem man das erste Folgenglied [math]a_0[/math] entsprechend oft, also i-mal, mit dem konstanten Faktor [math]q[/math] multipliziert.[br][br]
Übung 1 - Niveau 1
Kreuze an, bei welche der Folgen es sich um eine Geometrische Folge handelt.
Übung 2 - Niveau 2
1.) Berechne aus dem Folgenglied [math]a_1=a_0\cdot q[/math] das nächste Folgenglied [math]a_2[/math]. Stelle die Gleichung ohne die Verwendung von [math]a_0[/math] dar.[br]2.) Stelle eine Vermutung auf, wie man allgemein ein Folgenglied [math]a_{i+1}[/math] aus seinem direkten Vorgänger [math]a_i[/math] berechnet.
1.) Es gilt [math]a_2=a_0\cdot q^2=a_0\cdot q\cdot q=a_1\cdot q[/math], also insgesamt [math]a_2=a_1\cdot q[/math].[br]2.) Die rekursive Berechnung der Folge lautet[br][math]a_{i+1}=a_i\cdot q[/math].
Übung 3 - Niveau 3
Zeige, dass das Verhältnis von aufeinanderfolgende Folgengliedern, also [math]a_{i+1}[/math] zu [math]a_i[/math], konstant ist.[br]
Das Verhältnis benachbarter Folgenglieder ist konstant, denn es gilt[br][math]\frac{a_{i+1}}{a_i}=\frac{a_0\cdot q^{i+1}}{a_0\cdot q^i}=q[/math].[br]
Info: Konvergenz und Divergenz
Eine reellwertige Folge [math](a_k)[/math] nennt man [b]konvergent[/b] gegen einen Wert [math]\alpha\in\mathbb{R}[/math], falls man für jede noch so kleine Schranke [math]\epsilon>0[/math], eine natürliche Zahl [math]m\in\mathbb{N}[/math] finden kann, sodass [u]alle[/u] Folgenglieder ab dem Index [math]m[/math], also [math](a_k)_{k>m}[/math] innerhalb der [math]\epsilon-[/math]Umgebung um den Wert [math]\alpha[/math] liegen.[br]Die Zahl [math]\alpha[/math] nennt man dann Grenzwert oder Limes der Folge.[br]Gibt es keinen solchen Wert (oder auch keinen eindeutigen Wert), so nennt man die Folge divergent.
Applet: Konvergenz und Divergenz
Übung 4 - Niveau 1
1.) Gib an, für welche Werte von [math]q[/math] die Folgenglieder gegen den Wert Null streben.[br]2.) Für welche Werte von [math]q[/math] streben die Werte gegen [math]\infty[/math] bzw. [math]-\infty[/math] ?
1.) Für [math]q\in\left(0,1\right)[/math] und [math]q\in\left(-1,1\right)[/math] streben die Folgenglieder gegen Null.[br]2.) Für [math]q<-1[/math] und [math]1 divergieren die Folgenglieder.
Übung 5 - Niveau 2
Begründe warum für [math]q=1[/math] und [math]q=-1[/math] nur die Werte [math]a_0[/math] bzw. [math]-a_0[/math] angenommen werden.
Es gilt für alle [math]n\in\mathbb{N}[/math], dass [math]1^n=1[/math]. Damit gilt [math]a_n=a_0\cdot1^n=a_0[/math] für alle [math]n\in\mathbb{N}[/math].[br]Für alle ungeraden [math]n\in\mathbb{N}[/math] gilt [math]-1^n=-1[/math] und für alle geraden [math]n\in\mathbb{N}[/math] gilt [math]1^n=1[/math].[br]Damit gilt für alle geraden [math]n\in\mathbb{N}[/math], dass [math]a_n=a_0\cdot1^n=a_0[/math] und für alle ungeraden [math]n\in\mathbb{N}[/math] gilt, dass [math]a_n=a_0\cdot-1^n=-a_0[/math].
Übung 6 - Niveau 3
Beurteile, ob für den Wert [math]q=-1[/math] Konvergenz oder Divergenz vorliegt.
Die Folge hat zwei Häufungspunkte [math]a_0[/math] und [math]-a_0[/math]. Die Folge konvergiert also nicht und gilt entsprechend als divergent.