Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen - interaktives Buch
Table of Contents
- Die Normalparabel
- Die Normalparabel
- Verschiebung der Normalparabel in Y-Richtung
- Verschiebung in Y-Richtung
- Nullstellen von quadratischen Funktionen, die in Y-Richtung verschoben wurden
- Strecken, Stauchen und Spiegeln der Normalparabel
- Streckung, Stauchung und Spiegelung
- Wiederholung und Verbindung von Kapitel 1.-3.
- Zusammenfassung
- 5. Verschiebung in X-Richtung
- Verschiebung der Normalparabel in X-Richtung
- Die Scheitelpunktform
- Die Scheitelpunktform
- Die allgemeine Scheitelpunktform
Die Normalparabel
Die Normalparabel
Die Normalparabel ist der Graph der Funktion [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=x^2[/math]. [br]Die Abbildung zeigt die Normalparabel. [b]Beschreibe[/b] den Verlauf der Normalparabel. [br][b]Verwende[/b] dazu folgende Begriffe: [br][br][i]Kurve, steigen/ fallen, Scheitelpunkt, achsensymmetrisch zur ... , positive/negative Funktionswerte, Nullstelle(n)[/i]
Welche Eigenschaften hat die Normalparabel? Wähle die korrekten Aussagen aus und überprüfe deine Eingabe.
Die Normalparabel ...
Verschiebung in Y-Richtung
Schaue dir die Graphen der verschiedenen Funktionen anzeigen. Beschreibe, wie sie sich im Vergleich zur Normalparabel verändern.
Kannst du deine Erkenntnis verallgemeinern? [b]Notiere auf einem Extrablatt deine Erkenntnis[/b], wie der Graph der Funktion [math]f\left(x\right)=x^2+y_S[/math] im Vergleich zur Normalparabel aussieht, [br]- wenn [math]y_s>0[/math] ist.[br]- wenn [math]y_s<0[/math] ist. [br]- wenn [math]y_s=0[/math] ist. [br]
1.
Du siehst hier drei Graphen. Der [b]schwarze[/b] Graph ist die Normalparabel. Der [color=#0000ff]blaue[/color] Graph [math]h[/math] und der [color=#ff0000]rote[/color] Graph [math]g[/math] haben auch die Form der Normalparabel, sie sind aber in Richtung der Y-Achse verschoben.
Kreuze die richtige Antwort an.
Die Funktionsgleichung vom Graph g lautet
Die Funktionsgleichung vom Graph h lautet
2.
Eine Normalparabel soll so verschoben werden, dass der Scheitelpunkt im Punkt [math]S\left(0|2,5\right)[/math] liegt.
Was können wir für Aussagen treffen?
Die Parabel wurde also um ...
Die Funktionsgleichung lautet
Der Graph ...
Merke:
In der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=x^2+y_s[/math] beschreibt der angehängte Summand [math]y_s[/math] die Verschiebung in Richtung der Y-Achse. [br]Die Verschiebung in Richtung der Y-Achse kann man auch am Graphen ablesen. Der Funktionswert (Y-Wert) des Scheitelpunkts gibt sie an. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten [math]S\left(x|y_s\right)[/math].
[b]Bearbeite nun im Lehrbuch S. 57 Aufgabe 1 und 2.[br][br]Löse auf dem Extrablatt. [/b]
Streckung, Stauchung und Spiegelung
Der Parameter a
Ein Faktor [math]a[/math] in [math]f\left(x\right)=a\cdot x^2[/math]beeinflusst den Verlauf der Parabel. [br]Je nachdem welche Zahl für [math]a[/math] eingesetzt wird, wird die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt [i](schmaler)[/i], gestaucht [i](breiter, bauchiger)[/i] oder gespiegelt [i](nach unten geöffnet)[/i].[br][br][b]Verschaffe[/b] dir nochmal einen Überblick, wie der Faktor [math]a[/math] den Verlauf des Graphen verändert. [b]Verschiebe[/b] dazu den Schieberegler.
Welche Aussagen sind korrekt? [b]Kreuze an.[/b]
Den Streckfaktor a bestimmen
Man kann den Faktor [math]a[/math] einer gestreckten, gestauchten oder gespiegelten [b]Normalparabel[/b] an der Stelle [math]x=1[/math] ablesen. Der Faktor [math]a[/math] entspricht dem Funktionswert (Y-Wert) an dieser Stelle. [br]Eine gestreckte, gestauchte oder gespiegelte Normalparabel verläuft also immer durch den Punkt [math]A\left(1|a\right)[/math].[br][br]Ganz im Allgemeinen kann man den Streckfaktor immer am Punkt ablesen, der eine Einheit in X-Richtung neben dem Scheitelpunkt liegt. Hier betrachtet man die Veränderung des Funktionswerts (Y-Wert) in Bezug zum Scheitelpunkt. Die Veränderung entspricht dem Wert von [math]a[/math].
Gib die Funktionsgleichungen zu den Graphen an.
Denk daran, dass eine Funktions[b]gleichung[/b] die Form [math]f\left(x\right)=ax^2[/math] hat.[br][br]Notiere hier die Funktionsgleichung zum Graphen [math]g[/math].
Notiere hier die Funktionsgleichung zum Graphen [math]h[/math].
Notiere hier die Funktionsgleichung zum Graphen [math]k[/math].
Zusammenfassung
Verknüpfung von Streckung und Verschiebung in Y-Richtung
Parabeln können sowohl mit einem Faktor [math]a[/math] gestreckt, getaucht und gespiegelt sein, [br]also auch in Y-Richtung um [math]d[/math] verschoben werden. [br][br]Beide Parameter [math]a[/math] und [math]d[/math] tauchen dann in der Funktionsgleichung auf: [br][math]f\left(x\right)=a\cdot x^2+d[/math]
Schaue dir die Abbildung genau an.
Wenn man die Normalparabel (1, Graph der Funktion [math]f\left(x\right)=x^2[/math]) mit einem Faktor [math]a[/math] streckt oder staucht, dann wird sie schmaler oder breiter. [br]Den Streckfaktor [math]a[/math] kann man am Punkt ablesen, der eine X-Einheit neben dem Scheitelpunkt liegt. [br]Hier fragt man sich: [br]Wie hat sich der Funktionswert (Y-Wert) [i]verändert [/i]in Bezug zum Funktionswert des Scheitelpunkts?[br][br]Die Parabel 2 ist eine gestauchte Parabel. Der Faktor [math]a[/math] ist hier 0,2. [br]Somit lautet die Funktionsgleichung [math]g\left(x\right)=0,2\cdot x^2[/math].[br][br]Auch diese Parabel kann man in Y-Richtung verschieben (siehe Pfeil). [br]Im Beispiel wurde sie um [math]d=+3[/math] in Y-Richtung verschoben. [br]Sie ist weiterhin mit dem Faktor [math]a=0,2[/math] gestaucht. [br](Das erkennt man daran, dass der Scheitelpunkt des Y-Wert 3 hat und der Y-Wert des Punkt B 3,2 ist. Wir betrachten also den Scheitelpunkt und den Punkt eine X-Einheit daneben und die Veränderung der beiden Funktionswerte (Y-Werte). )[br][br]Die Funktionsgleichung zu Graph 3 lautet also: [math]h\left(x\right)=0,2x^2+3[/math].
In dem Applet kannst du die Normalparabel ([math]a=1[/math], [math]d=0[/math]) strecken, stauchen und spiegeln sowie in Y-Richtung verschieben. [br][br]Stelle [math]d=-3[/math] und [math]a=1,5[/math] ein.
Welche Eigenschaften treffen auf die Parabel zu? Kreuze an.
Welche Eigenschaften hat die Funktion [math]f\left(x\right)=-2x^2-1[/math]? Kreuze an.
Du kannst die Parameter oben im Applet einstellen und deine Vermutungen überprüfen.
Verlauf der Graphen.
Gegeben ist die Funktion [math]p\left(x\right)=0,5x^2-4[/math]. Gib zwei Punkte an, durch die sie verläuft. [br][br][b]Hilfe: [/b][br][br][i][size=85]Punkte werden mit Großbuchstaben bezeichnet und haben eine x- und eine y-Koordinate. [br][br]Du kennst die Koordinaten des Scheitelpunkts und du kennst auch Eigenschaften der Punkte, die eine x-Einheit neben dem Scheitelpunkt liegen. [/size][/i]
Nullstellen berechnen
Quadratische Funktionen haben entweder keine, eine oder zwei Nullstellen. [br]Nullstellen sind die Schnittstellen (x-Werte) der Funktion mit der X-Achse. [br]An Nullstellen ist der Funktionswert (Y-Wert) [math]=0[/math]. [br][br]Überlegungen zur Lage des Scheitelpunkts und der Öffnung (nach oben/ nach unten) führen einen auch ohne Rechnung zur [b]Anzahl[/b] der Nullstellen. [br][br]Man kann die Schnittstelle auch berechnen. [br][b]Vollziehe[/b] die Rechnung [b]nach[/b] und [b]verinnerliche[/b] die korrekte mathematische Form. [br][br]Beispielaufgabe: [br][b]Berechne[/b] die Nullstellen der Funktion [math]t\left(x\right)=0,5x^2-2[/math].[br][br][i]An Nullstellen ist der Funktionswert 0, also [math]t\left(x\right)=0[/math]. (Dieser Satz muss aufgeschrieben sein)[br][br][math]0=0,5x^2-2[/math] [math]|+2[/math][br][math]2=0,5x^2[/math] [math]|:0,5[/math][br][/i][math]4=x^2[/math] [math]|\frac{+}{-}\sqrt{ }[/math][br][math]x_1=+\sqrt{4}=2[/math] und [math]x_2=-\sqrt{4}=-2[/math]
Jetzt du!
Berechne die Nullstellen der Funktionen[br]a) [math]d\left(x\right)=2x^2-8[/math] [br]b) [math]m\left(x\right)=-3x^2+3[/math][br]c) [math]z\left(x\right)=0,75x^2+4[/math][br][br]Überprüfe deine Rechnung über die Eingabe hier.
Verschiebung der Normalparabel in X-Richtung
Schau dir die Abbildung an.
[b]Beschreibe[/b] den Verlauf der Graphen [math]g[/math] und [math]h[/math] im Vergleich zur Normalparabel [math]f[/math].
Die Parabeln wurden weder gestreckt/gestaucht noch in Y-Richtung verschoben. [br][br]Im Unterricht haben wir bereits überlegt, dass wir für die Verschiebung in Richtung der X-Achse wohl direkt am x-Wert ansetzen müssen - und zwar vor dem Quadrieren.[br][br]Der Scheitelpunkt von [math]g[/math] liegt bei [math]S_2\left(-1|0\right)[/math]. [br]Wir wissen auch anhand der Form des Graphen, dass eine quadratische Funktion vorliegt. [br]Wir müssen also den x-Wert [math]x=-1[/math] so verändern, dass er quadriert 0 ergibt. [br][br]Nur [math]0^2=0[/math], somit müssen wir die -1 mit +1 so verändern, dass es 0 wird und [math]\left(-1+1\right)^2=0[/math]. [br]Von der nach hinten verschobenen Parabel [math]g[/math], kommt man also zur Normalparabel, indem man von jedem betrachteten Wert x um 1 nach vorn geht (x+1). [br][br]Die Funktionsgleichung von [math]g[/math] lautet also [math]g\left(x\right)=\left(x+1\right)^2[/math].
Die Parabel [math]h[/math] wurde um zwei Einheiten in positive X-Richtung verschoben. [br][b]Vermute[/b], wie die Funktionsgleichung von [math]h[/math] aussieht.
Welche der Parabeln sind in X-Richtung verschoben? [b]Kreuze an[/b].
Der Scheitelpunkt einer verschobenen Normalparabel [math]f[/math] lautet [math]S\left(-4|0\right)[/math]. [b]Gib[/b] die dazugehörige Funktionsgleichung [b]an[/b].
Der Scheitelpunkt einer verschobenen Normalparabel [math]g[/math] lautet [math]S\left(2|0\right)[/math]. [b]Gib[/b] die dazugehörige Funktionsgleichung [b]an[/b].
Verallgemeinerung.
[b]Vermute[/b], welche Aussagen stimmen. [b]Kreuze an[/b]. [b]Überprüfe [/b]danach im unten stehenden Applet.
Notiere den Merkkasten aus dem Buch, S. 35. [br]Bearbeite auf dieser Seite Aufgabe 4, verwende zum Zeichnen wenn möglich die Parabelschablone.
Die Scheitelpunktform
Der Scheitelpunkt einer Parabel gibt uns Auskunft darüber, wie die Parabel (im Vergleich zur Normalparabel) verschoben wurde. [br][br]Im Applet findest du drei verschobene Normalparabeln. [b]Beschreibe[/b] ihre Lage.
[b]Gib[/b] den Scheitelpunkt der Parabel [math]f[/math] [b]an[/b] und [b]notiere[/b], um wie viele Einheiten die Parabel [math]f[/math] in X- und in Y-Richtung verschoben wurde.
[b]Vermute[/b], wie die Funktionsgleichung für [math]f[/math] aussieht.
[b]Gib[/b] den Scheitelpunkt der Parabel [math]g[/math] [b]an[/b] und [b]notiere[/b], um wie viele Einheiten die Parabel [math]g[/math] in X- und in Y-Richtung verschoben wurde.
[b]Vermute[/b], wie die Funktionsgleichung für g aussieht.
[b]Gib[/b] den Scheitelpunkt der Parabel [math]h[/math] [b]an[/b] und [b]notiere[/b], um wie viele Einheiten die Parabel [math]h[/math] in X- und in Y-Richtung verschoben wurde.
[b]Vermute[/b], wie die Funktionsgleichung für [math]h[/math] aussieht.
[b]Verschiebe [/b]die Normalparabel so, dass ihr Scheitelpunkt jeweils auf den vorgegebenen Scheitelpunkten liegt. Verwende dazu die Schieberegler. [br][b]Erkläre[/b], wie man die Parabel verschieben muss, damit man den Scheitelpunkt auf den vorgegebenen Punkt verschiebt. Wie muss man die Funktionsgleichung anpassen?
In der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=\left(x+5\right)^2-3[/math] kann man den Scheitelpunkt ablesen. [br][b]Überprüfe[/b], welche Aussagen für diese und die allgemeine Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=\left(x-b\right)^2+d[/math] gelten.[br]
[b]Kreuze an. [/b]
Die Scheitelpunktform
Die Form [math]f\left(x\right)=\left(x+b\right)^2+d[/math] von quadratischen Funktionen heißt Scheitelpunktform, weil man ihr direkt die Lage des Scheitelpunkts entnehmen kann.