Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen - interaktives Buch
Spis treści
- Die Normalparabel
- Strecken, Stauchen und Spiegeln der Normalparabel
- Verschiebung der Normalparabel in Y-Richtung
- Wiederholung und Verbindung von Kapitel 1.-3.
- Wiederholung Normalparabel
- Streckung, Stauchung und Spiegelung
- Wiederholung: Verschiebung in Y-Richtung
- Zusammenfassung
- 5. Verschiebung in X-Richtung
- Verschiebung der Normalparabel in X-Richtung
- Die Scheitelpunktform
- Die Scheitelpunktform
- Die allgemeine Scheitelpunktform
Wiederholung Normalparabel
Die Normalparabel
Die Normalparabel ist der Graph der Funktion [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=x^2[/math]. [br]Die Abbildung zeigt die Normalparabel. [b]Beschreibe[/b] den Verlauf der Normalparabel. [br][b]Verwende[/b] dazu folgende Begriffe: [br][br][i]Kurve, steigen/ fallen, Scheitelpunkt, achsensymmetrisch zur ... , positive/negative Funktionswerte, Nullstelle(n)[/i]
Welche Eigenschaften hat die Normalparabel? Wähle die korrekten Aussagen aus und überprüfe deine Eingabe.
Die Normalparabel ...
Verschiebung der Normalparabel in X-Richtung
Schau dir die Abbildung an.
[b]Beschreibe[/b] den Verlauf der Graphen [math]g[/math] und [math]h[/math] im Vergleich zur Normalparabel [math]f[/math].
Die Parabeln wurden weder gestreckt/gestaucht noch in Y-Richtung verschoben. [br][br]Im Unterricht haben wir bereits überlegt, dass wir für die Verschiebung in Richtung der X-Achse wohl direkt am x-Wert ansetzen müssen - und zwar vor dem Quadrieren.[br][br]Der Scheitelpunkt von [math]g[/math] liegt bei [math]S_2\left(-1|0\right)[/math]. [br]Wir wissen auch anhand der Form des Graphen, dass eine quadratische Funktion vorliegt. [br]Wir müssen also den x-Wert [math]x=-1[/math] so verändern, dass er quadriert 0 ergibt. [br][br]Nur [math]0^2=0[/math], somit müssen wir die -1 mit +1 so verändern, dass es 0 wird und [math]\left(-1+1\right)^2=0[/math]. [br]Von der nach hinten verschobenen Parabel [math]g[/math], kommt man also zur Normalparabel, indem man von jedem betrachteten Wert x um 1 nach vorn geht (x+1). [br][br]Die Funktionsgleichung von [math]g[/math] lautet also [math]g\left(x\right)=\left(x+1\right)^2[/math].
Die Parabel [math]h[/math] wurde um zwei Einheiten in positive X-Richtung verschoben. [br][b]Vermute[/b], wie die Funktionsgleichung von [math]h[/math] aussieht.
Welche der Parabeln sind in X-Richtung verschoben? [b]Kreuze an[/b].
Der Scheitelpunkt einer verschobenen Normalparabel [math]f[/math] lautet [math]S\left(-4|0\right)[/math]. [b]Gib[/b] die dazugehörige Funktionsgleichung [b]an[/b].
Der Scheitelpunkt einer verschobenen Normalparabel [math]g[/math] lautet [math]S\left(2|0\right)[/math]. [b]Gib[/b] die dazugehörige Funktionsgleichung [b]an[/b].
Verallgemeinerung.
[b]Vermute[/b], welche Aussagen stimmen. [b]Kreuze an[/b]. [b]Überprüfe [/b]danach im unten stehenden Applet.
Notiere den Merkkasten aus dem Buch, S. 35. [br]Bearbeite auf dieser Seite Aufgabe 4, verwende zum Zeichnen wenn möglich die Parabelschablone.
Die Scheitelpunktform
Der Scheitelpunkt einer Parabel gibt uns Auskunft darüber, wie die Parabel (im Vergleich zur Normalparabel) verschoben wurde. [br][br]Im Applet findest du drei verschobene Normalparabeln. [b]Beschreibe[/b] ihre Lage.
[b]Gib[/b] den Scheitelpunkt der Parabel [math]f[/math] [b]an[/b] und [b]notiere[/b], um wie viele Einheiten die Parabel [math]f[/math] in X- und in Y-Richtung verschoben wurde.
[b]Vermute[/b], wie die Funktionsgleichung für [math]f[/math] aussieht.
[b]Gib[/b] den Scheitelpunkt der Parabel [math]g[/math] [b]an[/b] und [b]notiere[/b], um wie viele Einheiten die Parabel [math]g[/math] in X- und in Y-Richtung verschoben wurde.
[b]Vermute[/b], wie die Funktionsgleichung für g aussieht.
[b]Gib[/b] den Scheitelpunkt der Parabel [math]h[/math] [b]an[/b] und [b]notiere[/b], um wie viele Einheiten die Parabel [math]h[/math] in X- und in Y-Richtung verschoben wurde.
[b]Vermute[/b], wie die Funktionsgleichung für [math]h[/math] aussieht.
[b]Verschiebe [/b]die Normalparabel so, dass ihr Scheitelpunkt jeweils auf den vorgegebenen Scheitelpunkten liegt. Verwende dazu die Schieberegler. [br][b]Erkläre[/b], wie man die Parabel verschieben muss, damit man den Scheitelpunkt auf den vorgegebenen Punkt verschiebt. Wie muss man die Funktionsgleichung anpassen?
In der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=\left(x+5\right)^2-3[/math] kann man den Scheitelpunkt ablesen. [br][b]Überprüfe[/b], welche Aussagen für diese und die allgemeine Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=\left(x-b\right)^2+d[/math] gelten.[br]
[b]Kreuze an. [/b]
Die Scheitelpunktform
Die Form [math]f\left(x\right)=\left(x+b\right)^2+d[/math] von quadratischen Funktionen heißt Scheitelpunktform, weil man ihr direkt die Lage des Scheitelpunkts entnehmen kann.