Ein Bäcker backt jeden Tag [math]4000[/math] Brötchen der Sorte [i]Krusti[/i]. Jedesmal wenn er die Brötchen aus dem Ofen holt, gibt es einige, die er nicht verkaufen kann. Einige sind zu dunkel und andere hatten sichtbare Löcher in der Kruste. Nun möchte er wissen, in welchem Intervall die Anzahl der unverkäuflichen Brötchen mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von [math]95,5\%[/math] tatsächlich liegt. Wenn die Wahrscheinlichkeit ein unverkäufliches Brötchen zu erhalten größer als [math]2\%[/math] ist, dann muss er sich einen neuen Ofen kaufen. Aber er kann ja nicht alle Brötchen einzeln untersuchen. Also nimmt er eine Stichprobe von 300. In dieser Stichprobe waren [math]11[/math] Brötchen nicht verkäuflich:[br][list][*]Größe der Stichprobe: [math]n=1500[/math][/*][*]Ergebnis der Untersuchung der Stichprobe als relative Häufigkeit: [math]h_n=\frac{17}{1500}[/math] [/*][*]zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von [math]95,5\%[/math] gehört [math]c=2[/math].[/*] [br][/list]Es gilt [math](h_n-p)^2=c^2\cdot\frac{p\cdot(1-p)}{n}[/math].[br]Lösung mit dem HP-Prime:[br][br][color=#0000ff]solve([/color][math]\;\fgcolor{#0000FF}{(\frac{11}{300}-p)^2=2^2\cdot\left(\frac{p\cdot(1-p)}{300}\right)\;,\,p\;}[/math][color=#0000ff])[/color][br][br][math]\Rightarrow p_1=0,0204[/math] und [math]p_2=0,0652[/math][br]Das heißt, dass Vertrauemsintervall für die Wahrscheinlichkeit eines unverkäuflichen Brötchens ist: [math]VI=[\,2,04\%\,;\,6,52\%\,][/math][br][br]Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus dem Ofen ein unverkäufliches Brötchen kommt, liegt also mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von [math]95,5\%[/math] im Vertrauens- oder Konfidenzintervall [math]p\in[2,048\%\,;\,6,52\%][/math].[br]Die untere Grenze des Vertrauensintervalls ist also schon größer als [math]2\%[/math]. Weil die angestrebten [math]2\%[/math] nicht im berechneten Vertrauensintervall liegen, kann man also mit einer Sicherheit von [math]95,5\%[/math] sagen, dass der Bäcker einen neuen Ofen braucht. [br][br]Um auszurechnen, wieviel von den täglich produzierten [math]4000[/math] Brötchen mit einer Sicherheit von [math]95,5\%[/math] Ausschussware sein können, muss dieses Intervall noch mit [math]4000[/math] multipliziert werden: [math][0,0204\cdot4000;0,0652\cdot4000]\approx[81;261][/math]

Der Bäcker aus der oben stehenden Aufgabe hat seinen neuen Ofen gekauft. Der Hersteller des Ofens verspricht, dass die Quote der unverkäuflichen Brötchen nur noch [math]1,5\%[/math] beträgt. Um das zu testen, nimmt der Bäcker eine Stichprobe von 500 Brötchen aus der Produktion. Im welchen Zahlenbereich muss die Anzahl unverkäuflicher Brötchen in dieser Stichprobe liegen, dass man mit einer Sicherheit von [math]99\%[/math] sagen kann, dass die Angaben des Ofen-Herstellers korrekt sind?[br][list][*]Größe der Stichprobe [math]n=500[/math][/*][*]Hier ist die Wahrscheinlichkeit [math]p=1,5\%[/math] gegeben, gesucht wird ein Wert für [math]h_n[/math] [/*][*]Die Sicherheitswahrscheinlichkeit von [math]99\%[/math] erfordert [math]c=2,58[/math][/*][/list][br]Zu lösen ist wieder die Gleichung [math](h_n-p)^2=c^2\cdot\frac{p\cdot(1-p)}{n}[/math][br]Lösung mit dem HP-Prime:[br][br][color=#0000ff]solve([/color][math]\;\fgcolor{#0000FF}{(h-0.015)^2=2.58^2\cdot\left(\frac{0.015\cdot(1-0.015)}{500}\right)\;,\,h\;}[/math][color=#0000ff])[/color][br][br]Die relativen Häufigkeiten liegen also zwischen [math]\Rightarrow h_{n1}=0,098\%[/math] und [math]h_{n2}=0,0290\%[/math]. [br]Um dies in absolute Zahlen für die Brötchen umzurechnen, müssen diese relativen Häufigkeiten noch mit [math]n=500[/math] multipliziert werden. Dann liegt die Anzahl der Brötchen in dem Intervall: [math][0,49;14,5]\approx[0;14][/math][br]Wenn also [math]15[/math] oder mehr Brötchen aus dem neuen Ofen unverkäuflich sind, dann ist die Aussage des Ofen-Herstellers mit einer Sicherheit von [math]99\%[/math] falsch.[br][br]Man kann die Anzahl [math]m[/math] der unverkäuflichen Brötchen auch mit einem Taschenrechnerbefehl direkt bestimmen:[br][color=#0000ff]solve([/color][math]\;\fgcolor{#0000FF}{(\frac m{500}-0.015)^2=2.58^2\cdot\left(\frac{0.015\cdot(1-0.015)}{500}\right)\;,\,m\;}[/math][color=#0000ff])[/color]