Wyznaczymy równanie stycznej do krzywej [math]S[/math] opisanej równaniem [center][math]y^3-2xy+ax-ay=0[/math], gdzie [math]a\in\mathbb{R}[/math], [/center]w punkcie [math]A=(0,0)[/math]. [br][br][u]Rozwiązanie.[br][/u]Łatwo sprawdzić, że punkt [math]A[/math] leży na krzywej [math]S[/math] dla dowolnej wartości parametru [math]a[/math].

Wykażemy, że istnieje dokładnie jedna funkcja [math]y=f_a(x)[/math] uwikłana danym równaniem, której wykres przechodzi przez punkt [math]A[/math], a następnie wyznaczymy styczną do wykresu funkcji [math]f_a[/math] w punkcie [math]x=0[/math] korzystając ze wzoru:[center][math]y-f_a\left(0\right)=f'_a(0)(x-0)[/math].[/center]Wyznaczona styczna do wykresu funkcji [math]f_a[/math], będzie jednocześnie szukaną styczną do krzywej [math]S[/math].

Ponieważ [math]F(0,0)=0[/math] i [math]F'y(0,0)=-1[/math], więc dla każdego [math]a\in\mathbb{R}[/math] istnieje dokładnie jedna funkcja [math]y=f_a\left(x\right)[/math] uwikłana podanym równaniem, określona na pewnym otoczeniu punktu [math]x=0[/math] i taka, że [math]f_a(0)=0[/math]oraz [math]f'_a(0)=a[/math]. Podstawiając odpowiednie wartości do wzoru na styczną otrzymujemy: [math]y-0=a\cdot x[/math].[br][br]W przypadku, gdy [math]a=0[/math] krzywa [math]S[/math] opisana jest równaniem [math]y^3-2xy-y=0[/math], a po przekształceniu [math]y(y^2-2x-1)=0[/math]. Możemy zatem rozwikłać równanie i wyznaczyć dwie funkcje uwikłane: [math]g_1(x)=0[/math] oraz [math]g_2(y)=\frac{1}{2} (y^2-1)[/math]. Przez punkt [math]A[/math] przechodzi tylko wykres funkcji [math]g_1[/math], której styczna w punkcie [math]x=0[/math] ma równanie [math]y=0[/math].[br][br][b]Odpowiedź.[/b] Przy ustalonym [math]a\in\mathbb{R}[/math] równanie stycznej do krzywej [math]S[/math] w punkcie [math](0,0)[/math] ma postać: [math]y=ax[/math].