[br]
Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt?
Einleitung und Anleitung für die Bearbeitung des Arbeitsblattes:
[justify][b][u]Einleitung und Ausgangsfrage:[/u][/b][br]In diesem Arbeitsblatt geht ihr der Frage nach, wie [b]Hoch-[/b] und [b]Tiefpunkte[/b], auch [b]Extrempunkte[/b] genannt, einer ganzrationalen Funktion [b]rechnerisch[/b] ermittelt werden können und wie man [b]rein rechnerisch beurteilen[/b] kann, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.[br][br]Ein weiterer besonderer Punkt mit dem man im Zuge dieser Frage unweigerlich konfrontiert wird, ist der sogenannte [b]Sattelpunkt[/b]. Ihr werden im Zuge des Arbeitsblattes auch lernen, was es mit diesem Punkt auf sich hat.[br][br][b][u]Anleitung:[/u][/b][br]Geht das Arbeitsblatt [b]schrittweise[/b] von oben nach unten durch. [b]Sprich:[/b] Scrollt zu Beginn [b]nicht [/b]einfach nach unten![br][/justify]
Bevor es richtig los geht (Startbedingungen):
Für eine erfolgreiche Bearbeitung der Aufgaben ist es unerlässlich, dass ihr in der Lage seid ganzrationale Funktionen rechnerisch abzuleiten.[br][br]Überprüft euch mit Hilfe der folgenden Aufgaben selbst.
Bestimmt jeweils die korrekte Ableitungsfunktion zur gegebenen Bestandsfunktion
[math]f\left(x\right)=5x^2[/math]
[math]f\left(x\right)=3x^3-2x^2[/math]
[math]f\left(x\right)=-5x+10[/math]
[math]f\left(x\right)=2x^5-3x^4+10x^3-5x^2+3x-2[/math]
Jetzt zurück zur Ausgangsfrage!
[size=100]Wie kann man Extrempunkte rechnerisch ermitteln und jeweils beurteilen, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt?[br][br][/size]Betrachten wir zum Beispiel [b]folgende Funktion[/b]:[size=150][size=200][br][math]f\left(x\right)=2x^5-0,2x^4-4x^3+2[/math][/size][/size][br][br]Ihre Aufgabe ist es [b]alle Hoch-[/b] [b]und[/b] [b]Tiefpunkte[/b] dieser Funktion [b]rechnerisch[/b] zu ermitteln.
Schritt 1: Erinnert ihr euch noch daran, was eine Besonderheit an Hoch- und Tiefpunkten ist?!
Schaut euch dafür ggf. [b]Abbildung 1[/b] an und bearbeitet die [b]nachfolgenden Aufgaben.[/b][br][br][b]Überprüft[/b] [b]nach[/b] Bearbeitung der Aufgaben eure Ergebnisse durch Einblenden der [b]Musterlösung[/b].
Abbildung 1
Aufgabe 1:
[b]Benennt[/b], wie viele Extrempunkte die betrachtete Funktion in [b]Abbildung 1[/b] aufweist. [b]Benennt[/b] weiterhin wie viele Hochpunkte und wie viele Tiefpunkte darunter enthalten sind.
Aufgabe 2:
[b]Benennt[/b], welche Steigung die angelegten Tangenten an den jeweiligen Extrempunkten haben und [b]erläutert[/b] kurz den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung.
Aufgabe 3:
[b]Benennt[/b], welchen Wert die Ableitung an Extrempunkten annimmt und [b]formuliert[/b] [b]in Form einer Gleichung [/b]eine [b]Bedingung[/b] für den Wert der Ableitung an Extrempunkten.
Schritt 2: Mit Kenntnis über die notwendige Bedingung für die Berechnung von Extrempunkten zurück zum Ausgangsbeispiel
Ausgangsbeispiel:[br][br][math]f\left(x\right)=2x^5-0,2x^4-4x^3+2[/math]
Aufgabe 4:
Bestimmt zunächst die erste Ableitung von f(x).
Aufgabe 5:
Bestimmt mit Hilfe der notwendigen Bedingung alle x-Werte, an denen [b]potentiell ein Extrempunkt vorliegen[/b] könnte.[br](Nach Aufstellen der Gleichung könnt ihr den GTR nutzen)[br]
Schritt 3: Jetzt muss nur noch geklärt werden, ob an diesen Stellen tatsächlich Extrempunkte vorliegen und welche Art von Extrempunkt dies jeweils ist
Für das Entdecken dieses Vorgehens schaut euch [b]Abbildung 2[/b] an und bearbeitet die nachfolgenden Aufgaben.
Abbildung 2
Aufgabe 6:
Beschreibt mit Hilfe von Abbildung 2 wie sich die Ableitungsfunktion (durch Häkchen aktivieren) in der Umgebung des eingezeichneten Tiefpunktes (links und rechts daneben) verhält. Was geschieht dabei mit dem Wert der Ableitung?
Aufgabe 7:
Beschreibt mit Hilfe von [b]Abbildung 3[/b] wie sich der Wert der Ableitung in der direkten Umgebung eines Hochpunktes verhält.[br]
Abbildung 3
[br]
Aufgabe 8:
Formuliert mit Hilfe Ihres Wissen über den Vorzeichenwechsel der Ableitung in der Umgebung von Extrempunkten eine Regel / ein Kriterium zur Beurteilung, ob es sich bei einem Extrempunkt um einen Hoch- / oder einen Tiefpunkt handelt.
Aufgabe 9:
Erläutert anhand von [b]Abbildung 4[/b] was man unter einem Sattelpunkt versteht und erklärt, was hier bezüglich des Vorzeichens der Ableitung zu beachten ist (Ist das Vorzeichenwechselkriterium für einen Sattelpunkt erfüllt?)
Abbildung 4
Aufgabe 10:
Wieder zurück zum Ausgangsproblem: [b]Beurteilt[/b] nun mit Hilfe des [b]Vorzeichenwechselkriteriums[/b] für welchen der über die notwendige Bedingung ermittelten x-Werte ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.[br][br]Für x-Werte siehe Lösung Aufgabe 5![br]
Aufgabe 11:
Da die Ausgangsfrage auf Extrem[b]punkte[/b] (und Sattel[b]punkte[/b]) bezogen war, müssen noch die y-Koordinaten der jeweiligen Punkte ermittelt werden.[br][br]Berechnet für die ermittelten Hoch-, Tief- und Sattelpunkte die dazugehörigen y-Werte und gebt die entsprechende Punkte vollständig an.[br]
Blick auf die Funktion (Ergebniskontrolle)
In der nachfolgenden [b]pdf-Datei [/b]könnt ihr euch die [b]Ausgangsfunktion f(x)[/b] mit den berechneten Hoch-, Tief- und Sattelpunkten zur abschließenden Kontrolle anschauen.
Darstellung der Ausgangsfunktion f(x)
