Przekształcanie oraz własności funkcji trygonometrycznych

Michał Kątnik, Mar 23, 2020

Table of Contents

  1. Powinowactwo prostokątne funkcji trygonometrycznych względem osi OX
    1. Powinowactwo prostokątne funkcji sinx względem osi OX
    2. Powinowactwo prostokątne funkcji cosx względem osi OX
    3. Powinowactwo prostokątne funkcji tgx względem osi OX
    4. Powinowactwo prostokątne funkcji ctgx względem osi OX
  2. Powinowactwo prostokątne funkcji trygonometrycznych względem osi OY
    1. Powinowactwo prostokątne funkcji sinx względem osi OY
    2. Powinowactwo prostokątne funkcji cosx względem osi OY
    3. Powinowactwo prostokątne funkcji tgx względem osi OY
    4. Powinowactwo prostokątne funkcji ctgx względem osi OY
  3. Wykresy funkcji trygonometrycznych z wartością bezwględną. Nakładanie wartości bezwględnej na całą funkcję
    1. Wykres funkcji sinx z modułem nałożonym na cały wykres
    2. Wykres funkcji cosx z modułem nałożonym na cały wykres
    3. Wykres funkcji tgx z modułem nałożonym na cały wykres
    4. Wykres funkcji ctgx z modułem nałożonym na cały wykres
  4. Wykresy funkcji trygonometrycznych z modułem nałożonym na zmienną x
    1. Wykres funkcji sinx z modułem nałożonym na zmienną x
    2. Wykres funkcji cosx z modułem nałożonym na zmienną x
    3. Wykres funkcji tgx z modułem nałożonym na zmienną x
    4. Wykres funkcji ctgx z modułem nałożonym na zmienną x
  5. Translacja wykresów funkcji trygonometrycznych o wektor [p,q]
    1. Translacja wykresu funkcji sinx o wektor [p,q]
    2. Translacja wykresu funkcji cosx o wektor [p,q]
    3. Translacja wykresu funkcji tgx o wektor [p,q]
    4. Translacja wykresu funkcji ctgx o wektor [p,q]
  6. Symetria osiowa funkcji trygonometrycznych względem osi OX
    1. Symetria osiowa funkcji sinx względem osi OX
    2. Symetria osiowa funkcji cosx względem osi OX
    3. Symetria osiowa funkcji tgx względem osi OX
    4. Symetria osiowa funkcji ctgx względem osi OX
  7. Symetria osiowa funkcji trygonometrycznych względem osi OY
    1. Symetria osiowa funkcji sinx względem osi OY
    2. Symetria osiowa funkcji cosx względem osi OY
    3. Symetria osiowa funkcji tgx względem osi OY
    4. Symetria osiowa funkcji ctgx względem osi OY
  8. Symetria osiowa funkcji trygonometrycznych względem początku układu współrzędnych
    1. Symetria osiowa funkcji sinx względem punktu (0,0)
    2. Symetria osiowa funkcji cosx względem punktu (0,0)
    3. Symetria osiowa funkcji tgx względem punktu (0,0)
    4. Symetria osiowa funckji ctgx względem punktu (0,0)
  9. Własności funkcji trygonometrycznych
    1. Funkcja sinx i jej własności
    2. Funkcja cosx i jej własności
    3. Funkcja tgx i jej własności
    4. Funkcja ctgx i jej własności

1.

Powinowactwo prostokątne funkcji trygonometrycznych względem osi OX

Powinowactwem prostokątnym względem osi OX nazywamy zmiany jakie zachodzą w wykresie funkcji względem osi OX. Mówiąc potocznie występuje wtedy "rozciąganie" lub "ściśnięcie" wykresu funkcji. Intuicyjnie ten rodzaj przekształcania można zrozumieć zauważając, że na tym samym odcinku osi OX musi znaleźć się m więcej lub m mniej miejsc zerowych w stosunku do sytuacji, gdy w wykresie funkcji nie wystepuje parametr. wzorem ogólnym tego rodzaju przekształcania jest: y=f(mx), gdzie m jest parametrem należącym do zbioru liczb rzeczywistych.

  • 1. Powinowactwo prostokątne funkcji sinx względem osi OX
  • 2. Powinowactwo prostokątne funkcji cosx względem osi OX
  • 3. Powinowactwo prostokątne funkcji tgx względem osi OX
  • 4. Powinowactwo prostokątne funkcji ctgx względem osi OX

1.1.

Powinowactwo prostokątne funkcji sinx względem osi OX

Powinowactwem prostokątnym względem osi OX nazywamy zmiany jakie zachodzą w wykresie funkcji względem osi OX. Mówiąc potocznie występuje wtedy "rozciąganie" lub "ściśnięcie" wykresu funkcji. Intuicyjnie ten rodzaj przekształcania można zrozumieć zauważając, że na tym samym odcinku osi OX musi znaleźć się m więcej lub m mniej miejsc zerowych w stosunku do sytuacji, gdy w wykresie funkcji nie wystepuje parametr. wzorem ogólnym tego rodzaju przekształcania jest: y=f(mx), gdzie m jest parametrem należącym do zbioru liczb rzeczywistych. [br]Badając zmiany wykresu funkcji sinx w zależności od wartości parametru m na powyższej animacji, możemy zauważyć, że dla każdego m funkcja sinx ma tę własność, że: sin(mx)=-sin(-mx). Wynika z tego, że [u]funkcja sinx jest funkcją nieparzystą.[/u]
– Michał Kątnik

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

2.

Powinowactwo prostokątne funkcji trygonometrycznych względem osi OY

Powinowactwem prostokątnym względem osi OY nazywamy rodzaj przekształcenia, w którym zmiany wykresu funkcji zachodzą wzdłuż tej osi. Mówiąc nieco potocznie nastepuje wtedy wydłużanie lub ścieśnianie wykresu takiej funkcji wzdłuż osi OY. Należy zuważyć, że [b]w takim przekształceniu miejsca zerowe pozostają niezmienne[/b], dlatego, że znajdują się one przecież na osi OY. Na przykład: Gdy sinx=0, to również nsinx=0, bo n pomnożene przez 0 to zawsze 0.

  • 1. Powinowactwo prostokątne funkcji sinx względem osi OY
  • 2. Powinowactwo prostokątne funkcji cosx względem osi OY
  • 3. Powinowactwo prostokątne funkcji tgx względem osi OY
  • 4. Powinowactwo prostokątne funkcji ctgx względem osi OY

2.1.

Powinowactwo prostokątne funkcji sinx względem osi OY

[math][/math]Powinowactwem prostokątnym względem osi OY nazywamy rodzaj przekształcenia, w którym zmiany wykresu funkcji zachodzą wzdłuż tej osi. Mówiąc nieco potocznie nastepuje wtedy wydłużanie lub ścieśnianie wykresu takiej funkcji wzdłuż osi OY. Należy zuważyć, że w takim przekształceniu miejsca zerowe pozostają niezmienne, dlatego, że znajdują się one przecież na osi OY. Na przykład: Gdy sinx=0, to również nsinx=0, bo n pomnożene przez 0 to zawsze 0. Zachowanie funkcji nsinx możemy prześledzić na powyższej animacji.
– Michał Kątnik

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

Wykresy funkcji trygonometrycznych z wartością bezwględną. Nakładanie wartości bezwględnej na całą funkcję

W tym rozdziale przedstawiłem taki rodzaj przekształceń funkcji trygonometrycznych, w których wartość bezwględna nakładana jest na cały wykres funkcji.

  • 1. Wykres funkcji sinx z modułem nałożonym na cały wykres
  • 2. Wykres funkcji cosx z modułem nałożonym na cały wykres
  • 3. Wykres funkcji tgx z modułem nałożonym na cały wykres
  • 4. Wykres funkcji ctgx z modułem nałożonym na cały wykres

3.1.

Wykres funkcji sinx z modułem nałożonym na cały wykres

W przypadku gdy wartość bezwględna, czyli moduł jest nałożony na cały wykres funkcji, wartości znajdujące się pierwotnie pod osią OX (ujemne) zostają symetrycznie odbite względem tej osi, a wartości pierwotnie znajdujące się nad osią OX (dodatnie) oraz miejsca zerowe pozostają niezmienne. Aby można było łatwiej zauważyć to zjawisko przedstawiłem dwa wykresy funkcji. Jednym z nich jest wykres funkcji sinx bez modułu (niebieski) oraz z nałożonym modułem (zielony).
– Michał Kątnik

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

Wykresy funkcji trygonometrycznych z modułem nałożonym na zmienną x

W sytuacji gdy wartość bezwględna (moduł) jest nałożona na zmienną x, przyjmujemy część wykresu znajdującą się po prawej stronie osi OY, a następnie odbijamy tę część wykresu symetrycznie względem tej osi.

  • 1. Wykres funkcji sinx z modułem nałożonym na zmienną x
  • 2. Wykres funkcji cosx z modułem nałożonym na zmienną x
  • 3. Wykres funkcji tgx z modułem nałożonym na zmienną x
  • 4. Wykres funkcji ctgx z modułem nałożonym na zmienną x

4.1.

Wykres funkcji sinx z modułem nałożonym na zmienną x

– Michał Kątnik

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

Translacja wykresów funkcji trygonometrycznych o wektor [p,q]

  • 1. Translacja wykresu funkcji sinx o wektor [p,q]
  • 2. Translacja wykresu funkcji cosx o wektor [p,q]
  • 3. Translacja wykresu funkcji tgx o wektor [p,q]
  • 4. Translacja wykresu funkcji ctgx o wektor [p,q]

5.1.

Translacja wykresu funkcji sinx o wektor [p,q]

– Michał Kątnik

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

6.

Symetria osiowa funkcji trygonometrycznych względem osi OX

Wzór ogólny dla symetrii osiowej względem osi OX to [b]y=-f(x)[/b]. W tym rozdziale obok wykresu każdej funkcji trygonometrycznej w jej pierwotnej postaci znajduje się wykres tej samej funkcji poddanej symetrii osiowej względem osi OX.

  • 1. Symetria osiowa funkcji sinx względem osi OX
  • 2. Symetria osiowa funkcji cosx względem osi OX
  • 3. Symetria osiowa funkcji tgx względem osi OX
  • 4. Symetria osiowa funkcji ctgx względem osi OX

6.1.

Symetria osiowa funkcji sinx względem osi OX

Warto zauważyć, że wykres funkcji -sinx jest taki sam jak wykres funkcji sin(-x) przedstawiony w następnym rozdziale. Wskazuje to na prawdziwość wzoru redukcyjnego [b]sin(-x)=-sinx[/b].
– Michał Kątnik

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

7.

Symetria osiowa funkcji trygonometrycznych względem osi OY

Wzór ogólny dla symetrii osiowej względem osi OY to [b]y=f(-x)[/b]. W tym przypadku naszą funkcję musimy "odbić" względem osi OY. To co znajduje się po lewej lub prawej stronie osi OY przenosimy na stronę przeciwną.

  • 1. Symetria osiowa funkcji sinx względem osi OY
  • 2. Symetria osiowa funkcji cosx względem osi OY
  • 3. Symetria osiowa funkcji tgx względem osi OY
  • 4. Symetria osiowa funkcji ctgx względem osi OY

7.1.

Symetria osiowa funkcji sinx względem osi OY

Warto zauważyć, że wykres funkcji sin(-x) jest taki sam jak wykres funkcji -sinx przedstawiony w poprzednim rozdziale. Wskazuje to na prawdziwość wzoru redukcyjnego [b]sin(-x)=-sinx[/b].
– Michał Kątnik

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

8.

Symetria osiowa funkcji trygonometrycznych względem początku układu współrzędnych

W tym przypadku wykres funkcji musimy "odbić" względem obu osi na raz. Wykres funkcji przenosimy symetrycznie względem początku układu współrzędnych O(0,0). Wzór ogólny dla tego przekształcenia to [b]y=-f(-x)[/b]

  • 1. Symetria osiowa funkcji sinx względem punktu (0,0)
  • 2. Symetria osiowa funkcji cosx względem punktu (0,0)
  • 3. Symetria osiowa funkcji tgx względem punktu (0,0)
  • 4. Symetria osiowa funckji ctgx względem punktu (0,0)

8.1.

Symetria osiowa funkcji sinx względem punktu (0,0)

Jak możemy zauważyć wykres funkcji -sin(-x) jest taki sam jak wykres funkcji sinx. [br]Wynika to także ze wzoru redukcyjnego sin(-x)=-sinx, bo z tego wzoru: -sin(-x)=-(-sinx)=sinx.
– Michał Kątnik

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

9.

Własności funkcji trygonometrycznych

W tym rozdziale wymienione zostały własności poszczególnych funkcji trygonometrycznych oraz zostały przedstawione ich wykresy.

  • 1. Funkcja sinx i jej własności
  • 2. Funkcja cosx i jej własności
  • 3. Funkcja tgx i jej własności
  • 4. Funkcja ctgx i jej własności

9.1.

Funkcja sinx i jej własności

[center]Własności funkcji sinx[/center][list][*]dziedzina: [b]R[/b][/*][*]zbiór wartości: ZW[sub]f[/sub]=<-1;1>[/*][*]okresowość: funkcja jest okresowa i jej okres zasadniczy T wynosi 2π.[/*][*]miejsca zerowe: x[sub]0[/sub]=0+kπ, gdzie k należy do [b]C[/b][/*][*][color=#222222]funkcja sinx jest nieparzysta. Wykres tej funkcji jest symetryczny względem punktu (0,0)[/color][/*][/list]
– Michał Kątnik

9.2.

–

9.3.

–

9.4.

–

Information