[b]Definição:[br][br][/b]Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}[/math] uma função escalar de várias variáveis, seja [math]\vec{u}[/math] um vetor unitário em [math]\mathbb{R}^n[/math] e [math]X_0\in Dom\left(f\right)[/math]. A derivada direcional de [math]f[/math] no ponto [math]X_0[/math] na direção [math]\vec{u}[/math], denotada por [math]\frac{\partial f}{\partial\vec{u}}[/math], é a função escalar definida por[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial\vec{u}}\left(X_0\right)\quad=\quad\lim_{t\rightarrow0}\frac{f\left(X_0+t\vec{u}\right)-f\left(X_0\right)}{t}[/math][br][br]O domínio de [math]\frac{\partial f}{\partial\vec{u}}[/math] é o subconjunto do [math]Dom\left(f\right)[/math] para o qual o limite acima exista.[br][br]Observe no applet abaixo a relação entre o vetor unitário [math]\vec{u}[/math] e a inclinação da reta tangente a curva gerada pela interseção do plano vertical que contém o vetor [math]\vec{u}[/math] com o gráfico da função.

[b]Interpretação Geométrica:[/b][br]Seja [math]f[/math] a função[br][br] [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}[/math][br] [math]X=\left(x,y\right)\quad\mapsto\quad f\left(x,y\right)[/math] [br][br]e sejam [math]\left(x_0,y_0\right)\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(f\right)[/math] e [math]\vec{u}[/math] o vetor unitário dado por [math]\vec{u}=\left(a,b\right)[/math], sendo [math]a,b\in\mathbb{R}[/math]. Como [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] pertencem a um conjunto aberto contido no domínio de [math]f[/math], temos que existe [math]\delta>0[/math], tal que [math]\left(x_0+at,y_0+bt\right)\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(f\right),\quad\forall t\in\left[-\delta,\delta\right][/math]. Considere então a curva [math]C[/math] parametrizada pela função [math]\gamma[/math] dada por: [br][br] [math]\gamma\left(t\right)=\left(x_0+at,y_{_0}+bt,g\left(t\right)\right),\quad t\in\left[-\delta,\delta\right][/math] [br][br]onde [math]g\left(t\right)=f\left(x_0+at,y_0+bt\right)[/math]. Observe que, construída dessa forma, [math]C[/math] é uma curva contida no gráfico da função [math]f[/math] dada pela interseção do gráfico da função [math]f[/math] com o plano[br]vertical que contém a reta [math]\left(x,y,z\right)=\left(x_0+at,y_0+bt,0\right),\quad t\in\mathbb{R}[/math]. Note também que[br][br] [math]\gamma'\left(t\right)=\left(a,b,g'\left(t\right)\right),\quad t\in\left[-\delta,\delta\right][/math],[br][br]de modo que [br][br] [math]\gamma'\left(0\right)=\left(a,b,g'\left(0\right)\right).[/math][br][br]Desta forma, como [br][br] [math]g'\left(0\right)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{g\left(t\right)-g\left(0\right)}{t}[/math][br] [math]=\lim_{t\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+at,y_0+bt\right)-f\left(x_0,y_0\right)}{t}[/math][br] [math]=\frac{\partial f}{\partial\vec{u}}\left(x_0,y_0\right)[/math],[br][br]temos que[br][br] [math]\gamma'\left(0\right)=\left(a,b,\frac{\partial f}{\partial\vec{u}}\left(x_0,y_0\right)\right)[/math][br] [math]=\left(a,b,0\right)+\left(0,0,\frac{\partial f}{\partial\vec{u}}\left(x_0,y_0\right)\right)[/math][br]Como [math]\vec{u}=\left(a,b\right)[/math] é um vetor unitário, temos que[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial\vec{u}}\left(x_0,y_0\right)=tan\ \alpha[/math],[br][br]onde [math]\alpha[/math] é o ângulo formado pelos vetores [math]\gamma'\left(0\right)[/math] e [math]\left(a,b,0\right)[/math], o qual fornece a inclinação da reta tangente à curva [math]C[/math] no ponto [math]\gamma\left(0\right)=\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math].[br]Temos portanto que [math]\frac{\partial f}{\partial\vec{u}}\left(x_0,y_0\right)[/math] fornece o coeficiente angular da reta tangente à curva [math]C[/math], no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math], onde [math]C[/math] é dada pela interseção do gráfico da função [math]f[/math] com o plano vertical que contém a reta [math]\left(x,y,z\right)=\left(x_0+at,y_0+bt,0\right),\quad t\in\mathbb{R}[/math].[br][br]Observe que se [math]\vec{u}=\left(1,0\right)[/math], temos que [br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial\vec{u}}\left(x_0,y_0\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right)[/math][br][br]e que se [math]\vec{u}=\left(0,1\right)[/math], temos que [br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial\vec{u}}\left(x_0,y_0\right)=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)[/math][br][br]Observe no applet abaixo, para [math]f\left(x,y\right)=-4x^2-y^2+1[/math] ,[math]\left(x_0,y_0\right)\in Dom\left(f\right)[/math] e [math]\vec{u}=\left(a,b\right)[/math], a curva gerada pela interseção do gráfico de [math]f[/math] com o plano vertical que contém a reta [math]\left(x,y,z\right)=\left(x_0+at,y_0+bt,0\right),\quad t\in\mathbb{R}[/math].

[b]Teorema 1[br][/b]Se [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math] é uma função diferenciável em [math]X_0\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(f\right)[/math], então:[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial\vec{u}}\left(X_0\right)=\nabla f\left(X_0\right).\vec{u}[/math],[br]para todo vetor unitário [math]\vec{u}[/math] em [math]\mathbb{R}^n[/math].[br][br][br][br][br][b]Teorema 2[/b][br][br]Se [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math] é uma função diferenciável em [math]X_0\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(f\right)[/math], tal que [math]\nabla f\left(X_0\right)\ne\vec{0}[/math], então :[br][br][b]a)[/b] O valor máximo da derivada direcional de [math]f[/math], no ponto [math]X_0[/math], ocorre quando [math]\vec{u_{max}}=\frac{\nabla f\left(X_0\right)}{\mid\mid\nabla f\left(X_0\right)\mid\mid}[/math] e neste caso o valor máximo é dado por [math]\frac{\partial f}{\partial\vec{u_{max}}}\left(X_0\right)=\mid\mid\nabla f\left(X_0\right)\mid\mid[/math]. Temos assim, que [math]\vec{u_{max}}[/math] fornece a direção e sentido de maior crescimento de função partindo-se do ponto [math]X_0[/math].[br][br][b]b)[/b]O valor mínimo da derivada direcional de [math]f[/math],no ponto [math]X_0[/math], ocorre quando [math]\vec{u_{min}}=\frac{-\nabla f\left(X_0\right)}{\mid\mid\nabla f\left(X_0\right)\mid\mid}[/math] e, neste caso, o valor mínimo é dado por [math]\frac{\partial f}{\partial\vec{u_{min}}}\left(X_0\right)=-\mid\mid\nabla f\left(X_0\right)\mid\mid[/math].[br]Temos assim, que [math]\vec{u_{min}}[/math] fornece a direção e o sentido de maior decrescimento da função, partindo-se do ponto [math]X_0[/math].[br][br][b]c)[/b] O valor da derivada direcional de [math]f[/math], no ponto [math]X_0[/math], é nulo quando [math]\vec{u}[/math] é perpendicular à [math]\nabla f\left(X_0\right)[/math].[br][br]Observe no applet abaixo os diferentes valores que a derivada direcional pode tomar, variando o vetor [math]\vec{u}[/math]. Avalie a partir dos diferentes ângulos e direções em relação ao vetor gradiente.