Es una curva algebraica de grado 3, definida por la ecuación implícita [color=#0000ff][b]x³ + y³ - 3axy = 0[/b][/color]. Considerando al parámetro a como variable, es una ecuación homogénea de grado 3, de manera que si multiplicamos una solución por cualquier valor real, obtenemos otra solución. Entonces el parámetro [b]a[/b] es un simple factor de escala, su variación no modifica la forma de la curva, sino tan solo sus dimensiones. Para estudiarla, podría hacerse entonces [b]a = 1[/b] sin pérdida de generalidad.[br][br]Se ve fácilmente que tiene un punto doble en el origen y a la recta [color=#ff0000][b]x+y = a [/b][/color]como asíntota, siendo simétrica respecto a la recta [b]y = x[/b]. Forma un bucle [color=#38761d][b][i]B[/i][/b][/color] en el primer cuadrante, siendo el punto [color=#0000ff][b](3/2 a, 3/2 a)[/b][/color] su vértice y punto más alejado del origen. En el 2º y 4º cuadrantes forma dos «alas», que delimitan con la asíntota áreas finitas [color=#38761d][b][i]A₁ [/i][/b][/color]y [color=#38761d][b][i]A₂[/i][/b][/color].

Se puede obtener una parametrización racional de la curva muy fácilmente, puesto que es unicursal, al tener un punto doble. Basta considerar el punto [color=#0000ff][b]P[/b][/color], la otra intersección de cualquier recta [color=#38761d][b]y = tx [/b][/color]con la curva. Para [b]t = -1[/b], pendiente de la asíntota, se obtiene el único punto del infinito de la curva.[br][br]Utilizando estas ecuaciones paramétricas, o la polar deducida de ellas, es facil obtener que el área del bucle es igual a la limitada por el «folium» y su asíntota, así como esta última región queda dividida entres partes iguales por los ejes de coordenadas.[br][br]Como curiosidad, se muestra una división del bucle en tres partes de igual área.[br][br]La curva fue estudiada por [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes]René Descartes[/url] en 1638, y la utilizó para retar a [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat]Pierre de Fermat[/url] a encontrar su línea tangente en cualquier punto, cosa que este resolvió fácilmente con sus descubrimientos en cálculo diferencial.