[size=150][justify][size=200]En algunas ocasiones, para representar las curvas anteriores o para resolver determinados tipos de problemas puede resultar adecuado relacionar las coordenadas de los puntos de las curvas con un parámetro que representaremos con una letra minúscula, por ejemplo [math]t[/math]. Esta forma de representar las curvas nos da las coordenadas paramétricas.[/size][br][size=200][br]Veamos como podemos obtener las ecuaciones paramétricas de algunas curvas. [/size][br][br][size=200]En el caso de la recta de ecuación implícita [math]3x+2y=1[/math]. Decimos que [math]x=t[/math], donde [math]t[/math] es un parámetro que toma valores en [math]\mathbb{R}[/math], lo que representa que la coordenada [math]x[/math] toma como valores todas las rectas perpendiculares al eje X. La intersección entre cada una de estas rectas con la recta nos da la coordenada [math]y[/math] de cada uno de sus puntos. Es decir, [math]3t+2y=1[/math] y obtenemos que [math]y=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}t[/math]. [/size][br][br][size=200]Las ecuaciones paramétricas de esta recta son:[/size][br][size=200][br] [math]x=t[/math] [br][math]y=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}t[/math].[br][/size][br][size=200]El proceso anterior también puede utilizarse para obtener una parametrización de la circunferencia [math]x^2+y^2=2[/math]. Tomamos [math]x=t[/math] donde [math]t[/math] es un parámetro que toma valores en [math]\left(0,1\right)[/math], y buscamos su intersección con la circunferencia, [math]t^2+y^2=1[/math]. Despejamos la coordenada [math]y[/math] de esta ecuación y el resultado es [math]y=+\sqrt{1-t^2}[/math] y [math]y=-\sqrt{1-t^2}[/math]. Para representar esta circunferencia, necesitaremos tomar dos parametrizaciones. [/size][br][math]x=t[/math][br][math]y=+\sqrt{1-t^2}[/math][br][br][size=200]y[/size][br][br][math]x=t[/math][br][math]y=-\sqrt{1-t^2}[/math].[br][br][size=200]A continuación, obtendremos otra ecuación paramétrica para representar a la circunferencia. Tomaremos un parámetro [math]t[/math] que toma valores angulares en el intervalo [math]\left(0,2\pi\right)[/math]. Podemos representar la circunferencia anterior con las ecuaciones:[/size][br][br][math]x=\sqrt{2}cos\left(t\right)[/math][br][math]y=\sqrt{2}sen\left(t\right)[/math].[br][br][size=200]Como vemos, podemos tener distintas representaciones paramétricas de una misma curva. Pero con cada una de estas representaciones es posible obtener la ecuación implícita de la curva.[/size] [br][/justify][/size][size=150][justify][br][size=200]Las ecuaciones paramétricas de la elipse son:[br][math]x=acos\left(t\right)[/math] [br][math]y=bsen\left(t\right)[/math][br]con [math]t[/math] en el intervalo [math]\left(0,2\pi\right)[/math].[br][/size][br][size=200]Definimos las ecuaciones paramétricas de una curva como el par [math]\left(I,\alpha\right)[/math] donde [math]I[/math] es un intervalo abierto de [math]\mathbb{R}[/math] y [math]\alpha:I\longrightarrow R^2[/math] es una aplicación de clase infinito, donde la [/size][size=200]imagen de [math]\alpha[/math] es [math]C[/math]. [br]Si la aplicación [math]\alpha:I\longrightarrow\alpha\left(I\right)[/math] es continua, tiene inversa y esta también es continua y para todo [math]t[/math] , [math]\alpha'\left(t\right)\ne0[/math] diremos que la representación paramétrica es regular y la curva representada será regular.[/size][br][br][br][br][/justify][/size][br]

[size=150][justify][size=200]Para representar una curva a partir de sus ecuaciones paramétricas en GeoGebra escribimos en la barra de entrada el comando[/size][br][br][math]Curva\left(x\left(t\right),y\left(t\right),t,0,2\pi\right)[/math][br][br][size=200]donde [math]x\left(t\right)[/math] e [math]y\left(t\right)[/math] son las coordenadas parametrizadas de la curva, [math]t[/math] es el nombre del parámetro y [math]0[/math] y [math]2\pi[/math], los extremos inferior y superior del parámetro.[/size][br][br][size=200]Algunos ejemplos de curvas representadas en forma paramétrica, pueden escribirse mediante el comando Curva en GeoGebra.[/size][br][br][math]Curva\left(t,-3t+1,t,-3,3\right)[/math][br][br][math]Curva\left(2cos\left(t\right),2sen\left(t\right),t,0,2pi\right)[/math][br][br][math]Curva\left(3cos\left(t\right),5sen\left(t\right),t,0,2pi\right)[/math][br][br][math]Curva\left(t,cosh\left(\frac{t}{2}\right),t,0,2pi\right)[/math][br][br][size=200]En la siguiente ventana de GeoGebra puedes representar estas curvas mediante el comando Curva.[/size][/justify][/size]