[size=85]Egy egységsugarú körön adott egy [i]A[/i] pont[i]. [/i]A kör által meghatározott körlapon véletlenszerűen választunk egy [i]P[/i] pontot. Várhatóan mennyi lesz a [i]PA[/i] távolság?[br][br]A [math]\xi[/math] valószínűségi változó legyen a vizsgált távolság! A lehetséges értékeinek halmaza a [0; 2]. Legyen az[url=https://www.mateking.hu/valoszinusegszamitas/eloszlas-eloszlasfuggveny-surusegfuggveny] eloszlásfüggvény[/url] [i]F[/i]! Nyilvánvaló, hogy ha [math]x\le0[/math], akkor [math]F\left(x\right)=0[/math]. Ha [math]x>2[/math], akkor [math]F\left(x\right)>0[/math]. Mi az eloszlásfüggvény értéke a [math]\rfloor0;2\rceil[/math] intervallumon?[/size]

[size=85]Ez esetben az eloszlásfüggvény értéke a kékre színezett síkrész területének és a kör területének hányadosa. A kör területe [math]\pi[/math]. A kékre színezett síkrész területét a [url=https://www.geogebra.org/m/mhemmqrm]korábbiakban már kiszámoltuk[/url].[br]Ekkor[br][math]F\left(x\right)=\frac{1}{\pi}\left(\left(x^2-2\right)arccos\left(\frac{x}{2}\right)-sin\left(2arccos\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\pi\right)[/math][br]A számolásokat a GeoGebra elvégzi:[br][/size]

[size=85]f: [url=https://www.mateking.hu/gazdasagi-matematika-2/eloszlas-eloszlasfuggveny-surusegfuggveny]sűrűségfüggvény[/url] [br]E: [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/V%C3%A1rhat%C3%B3_%C3%A9rt%C3%A9k]várhatóérték[/url][br][/size]