H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW, 12/3/2020

Es werden in Zeitschriften, TV und Internet veröffentlichte Visualisierungen zur möglichen Ausbreitung der Corona-Pandemie untersucht und es werden Informationen zu wesentlichen Kennzahlen gegeben. Dazu ist ein Beitrag im MNU journal 3/ 2020 unter dem Titel [b]Corona: Mathematik und Modellbildung[/b] erschienen (siehe Literatur). Modellierungen beruhen grundsätzlich auf Abstraktionen, auf Vereinfachungen und Vergröberungen. Die in Kap. 3 betrachteten Modellierungen basieren offensichtlich auf der Annahme, dass die Dichtefunktionen (= Neuinfektionen) symmetrisch glockenförmig sind. In meinem 'Check' der Visualisierungen gehe ich zunächst davon aus, dass eine logistische Wachstumskurve angemessen ist (was aber nicht immer zur jeweiligen Grafik passt). Die Gauß'sche Normalverteilung unterscheidet sich aber davon nur wenig und könnte auch herangezogen werden. Der Sinn des Modellierens ist bei aller Vereinfachung eine Prognose, ein Blick in die Zukunft, um in der Gegenwart adäquat handeln zu können. Die hier gezeigten Modellierungen werden auf ihre mathematische Angemessenheit und Konsistenz überprüft. Das kann man auf Schulniveau sicher leisten. Es wird ihnen keine eigene Modellierung gegenübergestellt, wohl aber in Kap. 4 das einfache SIR Standardmodell vorgestellt. Realitätsnähere Modellierungen sind allerdings viel komplexer und jenseits der schulischen Möglichkeiten, siehe z. B. [url]https://rp-online.de/panorama/coronavirus/forschern-fordern-in-der-corona-krise-einschnitte-ueber-monate_aid-49669785[/url] oder [url]https://www.imperial.ac.uk/news/196234/covid-19-imperial-researchers-model-likely-impact/[/url] [url]http://leipzig-data.de/demo/Corona-20/Erlaeuterungen.pdf[/url] Informationen über die gegebenen (Un-)Sicherheiten bei Statistiken und Modellrechnungen zu Corona findet man in der 'Unstatistik des Monats' vom RWI: http://www.rwi-essen.de/unstatistik/101/ Zur Corona-Pandemie/ Covid-19 wimmelt es im Netz von 'Informationen' aller Art. Wie kann man Fakten von 'alternativen Fakten', offenen Lügen und erfundenen Geschichten unterscheiden? Als Einzelperson fällt das extrem schwer. Hier hilft das Recherche-Netzwerk Correctiv mit seinem Faktencheck. Stand 26.05.2020: [url]https://correctiv.org/faktencheck/hintergrund/2020/05/26/coronavirus-faktenchecks-diese-behauptungen-hat-correctiv-geprueft[/url]

Im Zusammenhang mit der Corona Pandemie wird immer wieder von exponentiellem Wachstum gesprochen. Das ist auch anfänglich zutreffend, die Wachstumskurve geht immer steiler nach oben. Nach einer gewissen Zeit flacht das Wachstum jedoch ab (auch ohne weitere Maßnahmen, unschönes Stichwort 'Durchseuchung', 'Herdenimmunität'). Die ergriffenen Maßnahmen zielen darauf, das Wachstum aktiv abzuflachen ("flatten the curve"), um das Gesundheitssystem vor dem Zusammenbruch durch Überlastung zu bewahren. Entweder führt das (erst mal) zu einem exponentiellen Wachstum mit einem kleineren Faktor, d. h. einer längeren Verdopplungszeit (HongKong statt Italien). Oder der Zuwachs verringert sich weiter deutlich und geht bis auf Null. Dann ist es kein exponentielles Wachstum mehr! Siehe Kap. 2.

• 1. 1.1 Exponentielles Wachstum & logarithmische Skalierung
• 2. 1.2 Exponentielles Wachstum & Verdopplung in NRW
• 3. 1.3 Verdopplungsrechner - doubling calculator
• 4. 1.4 Rechnen mit Verdopplungen (1)
• 5. 1.5 Rechnen mit Verdopplungen (2)
• 6. 1.6 Reproduktionszahl
• 7. 1.7 Rechnen mit Verdopplungen (3)
• 8. 1.8 Kennzahlen im Wandel der Tage

Eine typische Wachstumskurve in der Natur verläuft zu Beginn (und nur zu Beginn!) wie ein exponentielles Wachstum und zum Ende wie ein beschränktes Wachstum. Dies nennt man logistisches Wachstum. Die Wachstumskurve hat dann beim Bestand (hier Gesamtinfizierte, math.: kumulierte Verteilung) eine S-Form und bei der Änderung (hier Neuinfizierte, math.: Dichte) eine Glockenform. Änderung und Bestand muss man klar auseinander halten. Wenn nur vage von 'Infizierten' gesprochen wird, kann es Missverständnisse geben. Die logistische Wachstumsfunktion wird hier in einer vereinfachten Form betrachtet, die sich an 1 = 100% annähert. Eine Herleitung der Funktionsgleichung findet hier nicht statt, die Funktion wird als gegeben, als 'Black Box' genutzt. Analytisch ist die (rote) Dichtefunktion die Ableitung der (grünen) kumulierten Verteilung. Oder umgekehrt ist die (grüne) kumulierte Verteilung die Integralfunktion der (roten) Dichtefunktion. Diese logistischen Kurven haben große Ähnlichkeit mit den Verteilungskurven der Gauß'schen Normalverteilung.

• 1. 2.1 Logistische Wachstumskurven
• 2. 2.2 Vergleich mit Normalverteilungskurven

Hier werden verschiedene veröffentliche Modelle und ihre grafische Visualisierung betrachtet und auf ihre mathematische Stimmigkeit untersucht. Hier wird in der Regel vereinfachend davon ausgegangen, dass die getroffenen Maßnahmen zwar die Ausbreitung der Pandemie in ihrer Geschwindigkeit beeinflussen, aber die Gesamtzahl der möglichen Infektionen in der gesamten Pandemie-Zeit gleich bleiben dürfte, zumindest bis zur Entwicklung eines Impfstoffs. Das war zur Zeit der Erstellung des Artikels (März 2020) auch der allgemeine Stand. Mittlerweile wird man eher davon ausgehen, dass man durch geeignete Maßnahmen auch die Gesamtzahl der Infektionen reduzieren kann und es nicht zur 'Durchseuchung' der Weltbevölkerung kommen muss.

• 1. 3.1a Corona: Das Spahn-Modell
• 2. 3.1b Corona: Das Spahn-Modell
• 3. 3.1c Corona: Das Spahn-Modell
• 4. 3.2a Corona: Das CDC-Modell
• 5. 3.2b Corona: Das CDC-Modell
• 6. 3.3a Corona: Das heute-Modell
• 7. 3.3b Corona: Das heute-Modell
• 8. 3.3c Corona: Das heute-Modell - Test
• 9. 3.4a Corona: Das Spiegel-Modell
• 10. 3.4b Corona: Das Spiegel-Modell

Hier werden das typische SIR Modell zur Modellierung von Infektionen und zwei Erweiterungen als SIRD-Modell und SEIR-Modell mit der Lernumgebung Kumulator simuliert. Das SIR-Modell stammt aus dem Jahr 1927 und wird auch als Kermack-McKendrick-Modell bezeichnet. Die Modelle sind hier weitestgehend vereinfacht, die normalen Geburten und Sterbefälle werden hier z. B. für einen überschaubaren Zeitraum mit 0 angesetzt. Realistischere Modelle werden schnell komplexer. Wir sehen hier im Modell die epidemiologische Kurve, die Ausbreitung der Epidemie im Zeitverlauf. Hier kann man schon gut erkennen, dass der Wert β (die Anzahl neuer Infektionen, die ein Infektiöser pro Zeiteinheit durchschnittlich verursacht) eine ganz entscheidende Größe ist, die man beeinflussen kann und muss. Alternativ könnte man auch statt des Parameters β den Reproduktionsfaktor R als Parameter wählen. In jedem Fall kann man im Modell studieren, wie sich eine Änderung der Parameter auf den Verlauf der Kurve, auf die modellierte Ausbreitung der Pandemie auswirkt. Anders gesagt: hier haben wir nicht mehr die Annahme, die auf lange Zeit gesehen die Anzahl der Erkrankten gleich bleibt.

• 1. Epidemie 1: SIR-Modell
• 2. Epidemie 2: SIRD-Modell
• 3. Epidemie 3: SEIR-Modell

• 1. Zuverlässigkeit von Corona/ Covid Tests
• 2. Informationen zum Covid-19 Antigen-Schnelltest

• 1. Faktenlage Impfen
• 2. Covid Intensivstation (aktualisiert)

• 1. Vortragsfolien

Aufgaben zu Corona und Mathematik für die Sekundarstafe I und Sekundarstufe II.

• 1. Aufgaben

• 1. Internet-Quellen
• 2. Artikel MNU journal 3/2020

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