Una vez introducido nuestro número complejo podemos experimentar con sus potencias naturales, es decir, [math]z_1.\quad n\in\mathbb{N}[/math].[br][br][b]Guía de construcción[/b][br][br][list][*]Escribimos en la barra de entrada: 1 + i (aparecerá el nombre z[sub]1[/sub])[/*][*]Creamos un deslizador de tipo entero con los parámetros por defecto. Por defecto lo llama n.[/*][*]Usamos el comando secuencia para crear las potencias naturales de z[sub]1. [/sub]. Escribimos en la barra de entrada:[/*][/list][code][/code][i][center]potencias=Secuencia[z_1^k,k,1,n][/center][/i]

[justify]Con esta sencilla construcción, que ampliaremos a lo largo del artículo, ya podemos observar qué sucede con las potencias de exponente natural de un número complejo. [br][br]Si activamos la vista algebraica, veremos una lista con las potencias del número complejo.[br][br]En la vista gráfica veremos los puntos correspondientes y ahí es donde empieza nuestra investigación. Si movemos el punto z[sub]1 [/sub]observaremos como varían las potencias. [br][br]De forma casi automática tanto a profesores como a alumnos nos asalta la pregunta ¿qué patrón siguen las sucesivas potencias?[br][/justify]

[br][br]Rápidamente sacamos un conclusión, la “figura” que describen los puntos depende de al menos el módulo del número complejo.[br][br]En este punto vamos a unir con segmentos las potencias consecutivas, es decir, los segmentos, [math] \overline{z_1z_1^2}, \quad \overline{z_1^2z_1^3},\quad \overline{z_1^3z_1^4}, \cdots[br]\overline{z_1^{n-1}z_1^{n}} [/math] y también representaremos la circunferencia unidad en un intento de ver qué sucede[br][color=#0066cc][br]Guía de construcción[/color][br][br][list][*]En el fichero anterior, escribimos en la barra de entrada: [/*][*] Circunferencia[(0,0),1] [/*][*] linea= Poligonal[potencias] [/*][*]Añadimos una casilla de control para ocultar/mostrar la línea poligonal creada en la guía anterior.[br][/*][/list]Con estas herramientas podemos estudiar qué sucede distinguiendo tres casos. [br][br][math]\left|z_1\right|=1[/math][br][math]\left|z_1\right|<1[/math][br][math]\left|z_1\right|>1[/math]