El segundo método para tratar [math] \large A\vec{x}=\vec{b} [/math] es "dual" al primero. No sólo se tiene interés en los miembros derechos obtenibles [math] \large \vec{b} [/math], sino también en las soluciones [math] \large \vec{x} [/math] que los obtienen. El miembro derecho [math] \large \vec{b}=\vec{0} [/math] siempre permite la solución [math] \large \vec{x}=\vec{0} [/math], aunque puede haber una infinidad de otras soluciones. (Siempre hay, en caso de que haya más incógnitas que ecuaciones, n > m). [br]Las soluciones de[math] \large A\vec{x}=\vec{0}[/math] constituyen un espacio vectorial, el espacio nulo de A ya que :[br][br][b]Una combinacion lineal de dos soluciones de un sistema homogeneo es una solucion del sistema homogeneo[/b][br][br][br]Esta propiedad falla si [math] \large \vec{b} \neq \vec{0} [/math] ! Sólo las soluciones de una ecuación homogénea ([math] \large \vec{b}=\vec{0} [/math] ) constituyen un subespacio!

Encontremos el Espacio Nulo de la matriz A:[br][br][center][br][math][br]\LARGE A= \begin{pmatrix}[br]-1 & 1& 1\\ [br] 2& 3 & 1\\ [br] 1& 4& 2[br]\end{pmatrix}[br][/math][br][/center][br] Debemos encontrar que vectores [math] \large \vec{x}[/math] "anulan" la matriz A.[br][br][br][center][br][math][br]\LARGE \text{¿Qué vectores} \begin{pmatrix}[br]x\\ y[br]\\ z[br]\end{pmatrix} \text{anulan A?} \rightarrow \begin{pmatrix}[br]-1 & 1& 1\\ [br] 2& 3 & 1\\ [br] 1& 4& 2[br]\end{pmatrix}\begin{pmatrix}[br]x\\ y[br]\\ z[br][br]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}[br]0\\ 0[br]\\ 0[br][br]\end{pmatrix}[br][br][/math][br][/center][br][br][br]Para encontrar estos vectores anuladores de A, debemos simplemente resolver este sistema de ecuaciones. (Estos sistemas con partes derechas iguales todas a cero , se llaman [b]sistemas homogeneos[/b]).[br][br]La matriz aumentada del sistema es:[br][br][br][center][br][math][br]\LARGE \begin{pmatrix}[br]-1 & 1& 1 & 0\\ [br] 2& 3 & 1& 0\\ [br] 1& 4& 2 & 0[br]\end{pmatrix}[br][/math][br][/center][br][br][br]La matriz Escalonada Reducida es:[br][center][br][math][br]\LARGE Ar= \begin{pmatrix}[br]1 & 0& -\frac{2}{5} & 0\\ [br] 0& 1 & \frac{3}{5}& 0\\ [br] 0& 0& 0 & 0[br]\end{pmatrix}[br][/math][br][/center][br][br][br]y la solución vectorial del sistema es:[br][br][center][br][math][br]\LARGE \begin{pmatrix}[br]x\\ y[br]\\ z[br][br]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}[br]0\\ 0[br]\\ 0[br][br]\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}[br]\frac{2}{5}\\ -\frac{3}{5}[br]\\ 1[br][br]\end{pmatrix}[br][/math][br][/center][br]Todos estos vectores (rojos) que forman una recta, al ser multiplicados por A se anulan, como se observa [br]A continuación:

El Espacio Columna de una matriz [math]\large A[/math] es el espacio fila de la Matriz Traspuesta [math]\large A^{t}[/math],[code][/code], ya que la matriz traspuesta intercambia filas y columnas de una matriz.[br]Ya encontramos el núcleo de la matriz , ahora para completar el cuatro espacio asociado a una matrtiz nos falta encontrar el núcleo de la matriz traspuesta [math]\large A^{t}[/math], la matriz es la siguiente:[br][br][br][center][br][math][br]\LARGE A= \begin{pmatrix}[br]-1 & 2& 1\\ [br] 1& 3 & 4\\ [br] 1& 1& 2[br]\end{pmatrix}[br][/math][br][/center][br] Debemos encontrar que vectores [math] \large \vec{x}[/math] "anulan" la matriz A.[br][br][br][center][br][math][br]\LARGE \text{¿Qué vectores} \begin{pmatrix}[br]x\\ y[br]\\ z[br]\end{pmatrix} \text{anulan A?} \rightarrow \begin{pmatrix}[br]-1 & 2& 1\\ [br] 1& 3 & 4\\ [br] 1& 1& 2[br]\end{pmatrix}\begin{pmatrix}[br]x\\ y[br]\\ z[br][br]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}[br]0\\ 0[br]\\ 0[br][br]\end{pmatrix}[br][br][/math][br][/center][br][br][br]Para encontrar estos vectores anuladores de A, debemos simplemente resolver este sistema de ecuaciones. (Estos sistemas con partes derechas iguales todas a cero , se llaman [b]sistemas homogeneos[/b]).[br][br]La matriz aumentada del sistema es:[br][br][br][center][br][math][br]\LARGE \begin{pmatrix}[br]-1 & 2& 1 & 0\\ [br] 1& 3 & 4& 0\\ [br] 1& 1& 2 & 0[br]\end{pmatrix}[br][/math][br][/center][br][br][br]La matriz Escalonada Reducida es:[br][center][br][math][br]\LARGE Ar= \begin{pmatrix}[br]1 & 0&1 & 0\\ [br] 0& 1 & 1& 0\\ [br] 0& 0& 0 & 0[br]\end{pmatrix}[br][/math][br][/center][br][br][br]y la solución vectorial del sistema es:[br][br][center][br][math][br]\LARGE \begin{pmatrix}[br]x\\ y[br]\\ z[br][br]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}[br]0\\ 0[br]\\ 0[br][br]\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}[br]-1\\ -1[br]\\ 1[br][br]\end{pmatrix}[br][/math][br][/center][br]Todos estos vectores (azules) que forman una recta, al ser multiplicados por A se anulan, como se observa [br]A continuación: