[justify][size=200]Вопросы для повторения к главе II[br][/size][br]1. Объясните, какая фигура называется треугольником. Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника?[br][br]2. Какие треугольники называются равными?[br][br]3. Что такое теорема и доказательство теоремы?[br][br]4. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.[br][br]5. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой.[br][br]6. Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведенном из данной точки к данной прямой.[br][br]7. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?[br][br]8. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?[br][br]9. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?[br][br]10. Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны?[br][br]11. Какой треугольник называется равносторонним?[br][br]12. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.[br][br]13. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.[br][br]14. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников.[br][br]15. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.[br][br]16. Что такое определение? Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?[br][br]17. Объясните, как отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному.[br][br]18. Объясните, как отложить от данного луча угол, равный данному.[br][br]19. Объясните, как построить биссектрису данного угла.[br][br]20. Объясните, как построить прямую, проходящую через данную точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную к этой прямой.[br][br]21. Объясните, как построить середину данного отрезка.[br][/justify]

[justify][/justify][justify][size=200]Дополнительные задачи[/size][br][br]156. Периметр треугольника АВС равен 15 см. Сторона ВС больше стороны АВ на 2 см, а сторона АВ меньше стороны АС на 1 см. Найдите стороны треугольника.[br][br]157. В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см. Найдите стороны треугольника.[br][br]158. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.[br][br]159. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.[br][br]160. Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: [br] а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В; [br] б) каждая точка, равноудаленная от точек А и В, лежит на прямой а.[br][br]161. В треугольниках АВС и [math]A_1B_1C_1[/math] медианы АМ и [math]A_1M_1[/math] равны, ВС=[math]B_1C_1[/math] и [math]\angle AMB=\angle A_1M_1B_1[/math]. Докажите, что [math]\Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1[/math].[br][br]162. На рисунке ниже треугольник ADE равнобедренный, DE — основание. Докажите, что: [br] а) если ВD=СЕ, то [math]\angle CAD=\angle BAE[/math] и АВ=АС; [br] 6) если [math]\angle CAD=\angle BAE[/math], то BD=CE и АВ=АС.[br][/justify]

[justify]163. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.[br][br]164. На сторонах равностороннего треугольника АВС отложены равные отрезки AD, ВЕ и СЕ, как показано на рисунке ниже. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.[/justify]

[justify][/justify][justify]165. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и ВD отмечены точки К и [math]K_1[/math] так, что АК = [math]BK_1[/math]. Докажите, что: [br] а) ОК =[math]ОK_1[/math]; [br] б) точка О лежит на прямой [math]KK_1[/math].[br][br]166. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Точки М и N — середины отрезков АС и ВD. Докажите, что точка О — середина отрезка МN.[br][br]167. Стороны равностороннего треугольника АВС продолжены, как показано на рисунке ниже, на равные отрезки АD, СЕ, ВF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.[br][br]168. В треугольнике АВС [math]\angle A=38^\circ[/math], [math]\angle B=110^\circ[/math], [math]\angle C=32^\circ[/math]. На стороне АС отмечены точки D и Е так, что точка D лежит на отрезке АЕ, BD=DA, ВЕ=ЕС. Найдите угол DBE.[br][br]169. На рисунке ниже ОС=ОD, ОВ=ОЕ. Докажите, что АВ= ЕF. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка АВ на рисунке ниже), основанный на этой задаче.[br][br]170. Докажите, что треугольники АВС и [math]A_1B_1C_1[/math] равны, если АВ=[math]A_1B_1[/math], [math]\angle A=\angle A_1[/math], AD=[math]A_1D_1[/math], где AD и [math]A_1D_1[/math] — биссектрисы треугольников.[br][br]171. В треугольниках АВС и АDС стороны ВС и АD равны и пересекаются в точке О, [math]\angle OAC=\angle OCA[/math]. Докажите, что треугольники АВО и СDО равны.[br][br]172. На рисунке ниже АС=АD, [math]AB\perp CD[/math]. Докажите, что ВС=ВD и [math]\angle ACB=\angle ADB[/math]. [br][br]173*. Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника.[br][br]174*. Докажите, что [math]\Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1[/math], если [math]\angle A=\angle A_1[/math], [math]\angle B=\angle B_1[/math], [math]BC=B_1C_1[/math].[br][br]175*. На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С, D так, что ОА=ОВ, АС=ВD (см. рисунок ниже). Прямые АD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.[br][br]176* Докажите, что треугольники АВС и [math]A_1B_1C_1[/math] равны, если АВ=[math]A_1B_1[/math], AC=[math]A_1C_1[/math], АМ=[math]A_1M_1[/math], где АМ и [math]A_1M_1[/math] — медианы треугольников.[br][br]177* Даны два треугольника: АВС и [math]A_1B_1C_1[/math]. Известно, что АВ=[math]A_1B_1[/math], АС=[math]A_1C_1[/math], [math]\angle A=\angle A_1[/math]. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки К и L, а на сторонах [math]A_1C_1[/math] и [math]B_1C_1[/math] треугольника [math]$A_1B_1C_1$[/math] — точки [math]K_1[/math] и [math]L_1[/math] так, что AK=[math]A_1K_1[/math], LC=[math]L_1C_1[/math]. Докажите, что:[br] а) KL=[math]K_1L_1[/math];[br] б) AL=[math]A_1L_1[/math].[br][br]178*. Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, и точка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков АD, ВD и СD не равны друг другу.[br][br]179*. На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки Р и Q так, что [math]\angle PXB=\angle QXC[/math], где Х — середина основания ВС. Докажите, что ВQ=СР.[br][br]180. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой. [br][br]181. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.[br][br]182. Даны прямая а, точки А, В и отрезок РQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы вершина С лежала на прямой а и АС=РQ.[br][br]183. Даны окружность, точки А, В и отрезок РQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы вершина С лежала на данной окружности и АС=РQ.[br][br]184. На стороне ВС треугольника АВС постройте точку, равноудаленную от вершин А и С.[br][br]185. С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равные части.[br][/justify]

[size=150][size=200][url=https://www.geogebra.org/m/gpj5gs7e]Рабочая тетрадь[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/grygwmbd]Самостоятельные и контрольные работы[br][/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/tnfxfjuc]Дидактические материалы[br][br][/url][url=https://www.geogebra.org/m/yrxy92tk][size=50][size=200]Дополнительные задания от авторов[/size][/size][/url][/size][/size]