Mentre studiavamo l'andamento esponenziale (ed in particolare in [url=https://www.geogebra.org/m/GedCeBE6#material/ehs2wwng]questo capitolo[/url]) abbiamo introdotto il logaritmo come una definizione utile per trovare esponenti che sappiamo esistere ma di cui non sappiamo definire esattamente il valore: [br][br][math]\large{3^x=20\qquad \rightarrow \qquad x=??? \qquad \rightarrow \qquad x = \log_3(20)}[/math][br][br]in termini generali, data una base [math]\large{b}[/math] ed un risultato finale [math]\large{a}[/math], definiamo [math]\large{\log_b a}[/math] (logaritmo in [b]base[/b] [math]\large{b}[/math] di [b]argomento[/b] [math]\large{a}[/math]) l'esponente che applicato alla base [math]\large{b}[/math] genera come risultato l'argomento [math]\large{a}[/math].[br][br]Ogni uguaglianza esponenziale può quindi essere riscritta in forma logaritmica, e viceversa:[br][br][math]\large{b^x=a\qquad \iff \qquad x = \log_b a}[/math][br][br]Possiamo quindi definire una [b]funzione logaritmica[/b] che, fissata una certa base, prende come input il risultato che si vuole ottenere (l'argomento del logaritmo) e fornisce come output l'esponente corrispondente a cui elevare la base:[br][br][math]\large{y=\log_b(x)}[/math][br][br]in questo paragrafo definiremo alcune caratteristiche fondamentali di questa funzione.[br][br][size=150][color=#ff0000]BASI AMMESSE E CONDIZIONI DI ESISTENZA[br][/color][/size]Il valore del logaritmo dipende da due valori di input: il risultato che si vuole ottenere (l'argomento del logaritmo) e la base che si vuole elevare per ottenerlo. Come nel caso dell'esponenziale, tuttavia, [color=#ff0000]nello studiare la funzione logaritmica la base viene stabilita all'inizio e poi mantenuta tale[/color], salvo passare eventualmente ad un'altra funzione logaritmica con la base desiderata. Si hanno insomma infinite funzioni logaritmiche, ognuna con la propria base: [math]\large{\log_2 x,\ \log_3 x,\ \log_{\frac{1}{2}} x,\ \log_{\frac{3}{7}} x ...}[/math]. Il comportamento di queste funzioni è però molto simile, quindi la scelta della base è secondaria, anche se vi sono delle basi "di riferimento" più "comode" di altre e che quindi vengono usate più spesso:[br][list][*][color=#ff0000]la base "naturale" dei logaritmi (e degli esponenziali) è il numero di Nepero[/color] [math]\large{\textcolor{red}{e}}[/math], con il quale certi i calcoli risultano particolarmente semplici e... naturali, appunto. Il logaritmo in questa base ha simbolo [math]\large{\textcolor{red}{y= \ln (x)}}[/math], dove "ln" sta appunto per "[b]l[/b]ogaritmo [b]n[/b]aturale". [br][/*][br][*][color=#ff0000]un'altra base piuttosto comune è il [/color][math]\large{\textcolor{red}{10}}[/math], per cui il simbolo di logaritmo senza l'indicazione di alcuna base fa riferimento al logaritmo in base dieci [math]\large{\textcolor{red}{y= \log (x)}}[/math]. Occorre però prestare attenzione perchè in alcuni contesti la stessa scrittura indica invece la base [math]\large{e}[/math], che è il vero riferimento per i logaritmi soprattutto in ambiti scientifici ed avanzati.[br][/*][/list][br]Per capire a fondo le proprietà dei logaritmi è necessario ricordare inoltre che essi possono essere calcolati solo per alcune basi. Torniamo alla funzione esponenziale da cui abbiamo ottenuto il concetto di logaritmo:[br][br][math]\large{b^x=a}[/math][br][br]Anche per essa la base viene stabilita e poi mantenuta tale, ma non tutti i valori hanno senso per essa:[br][list][*][math]\large{\textcolor{red}{b \gt 0}}[/math], perché l'esponente [math]\large{x}[/math] sarà libero di variare tra tutti i numeri reali, incluse le [i]infinite[/i] frazioni come [math]\large{\frac{1}{2}}[/math], [math]\large{\frac{3}{4}}[/math], [math]\large{\frac{1}{10}}[/math] e qualsiasi altra frazione a denominatore pari: come sappiamo [color=#ff0000]potenze con esponenti di questo tipo corrispondono a radici ad indice pari, che non ammettono radicandi negativi[/color];[/*] [*]Per una ragione simile dobbiamo porre [math]\large{\textcolor{red}{b \neq 0}}[/math]: [color=#ff0000]esponenti negativi ci porterebbero a dividere per zero[/color], e per tutti gli altri una potenza a base zero da come risultato sempre zero, e quindi non è molto interessante da studiare;[br][br][/*][*][math]\large{\textcolor{red}{b \neq 1}}[/math], infatti non ha molto senso studiare una potenza che, qualsiasi esponente le si applichi, da come risultato sempre [/*][/list][br][color=#ff0000][b]Abbiamo quindi che la funzione esponenziale ha senso solo per basi [math]\large{b>0 \land b\neq 1}[/math]; la funzione logaritmica, strettamente associata ad essa, eredita le stesse limitazioni[/b][/color].[br][br][color=#ff0000][b]Questo porta ad una caratteristica fondamentale per la funzione logaritmica: se la sua base è strettamente positiva, le potenze generate da tale base saranno sempre e solo positive, quindi l'argomento del logaritmo (che indica appunto il risultato che si vuole ottenere dalla potenza) deve essere strettamente positivo[/b][/color] perché sia possibile associarvi un esponente che lo riproduca. In altre parole [color=#ff0000][b]il logaritmo ha delle condizioni di esistenza[/b][/color]: [br][br][math]\large{y=\log_b(x)\qquad \qquad \qquad C.E.: x>0}[/math][br][br]Ci rendiamo conto della necessità delle C.E. nel momento in cui ad esempio proviamo a calcolare[br][br][math]\large{y=\log_2(-4)}[/math][br][br]poichè non esiste nessun esponente che ci permette di ottenere [math]\large{-4}[/math] elevando il [math]\large{2}[/math] (in altre parole l'equazione [math]\large{2^x=-4}[/math] è impossibile), [b]questa operazione non ha risultato, e quindi [math]\large{-4}[/math] non è un valido valore di input per il logaritmo[/b] - cioè non appartiene al suo Dominio.[br]

[size=150][color=#ff0000]IL LOGARITMO È L'OPERAZIONE (FUNZIONE) INVERSA DELL'ESPONENZIALE[/color][/size][br]Abbiamo più volte ribadito che il logaritmo è strettamente legato all'esponenziale. È giunto il momento di definire meglio il legame tra le due operazioni, riconoscendo che una è l'inversa dell'altra. Infatti se[br][br][math]\large{\textcolor{#007700}{3} = \log_{\textcolor{blue}{2}} \textcolor{red}{8}}[/math][br][br]è proprio perchè [br][br][math]\large{\textcolor{blue}{2}^\textcolor{#007700}{3} = \textcolor{red}{8}}[/math][br][br]Fissata una base, l'esponenziale partendo dall'esponente restituisce il risultato finale. [br]Il logaritmo segue il processo inverso: dal risultato finale restituisce l'esponente che lo genera. [br]

Trovi in [url=https://www.geogebra.org/m/ujautySS]questo capitolo[/url] varie considerazioni sulle funzioni e le loro inverse. Nell'animazione qui sotto riproponiamo in breve una di queste considerazioni, quella relativa alla relazione tra i grafici di una funzione e della sua inversa: poiché esse si scambiano input ed output, sul piano cartesiano questo significa invertire le coordinate e gli assi [math]\large{x}][/math] ed [math]\large{y}][/math], ottenendo due curve legate da una particolare simmetria.

Nella seguente animazione vediamo come la relazione tra le due funzioni ci permette di dedurre delle caratteristiche del logaritmo partendo da quelle dell'esponenziale.