Transformaciones geométricas en el plano con geogebra
Traslación, rotación, reflexión y homotecia
Table of Contents
- INTRODUCCIÓN
- Introducción de transformaciones geométricas en el plano
- Geogebra: controladores y applets
- Traslación
- Traslación 1: Dado el vector de traslación
- Traslación 2: Dadas las componentes rectangulares del vector de traslación
- Traslación 3: Traslación de la función cuadrática
- Rotación
- Rotación 1: Ángulo de rotación positivo
- Rotación 2: Ángulo de rotación negativo
- Rotación 3: Rotación de un hexágono regular por su centro
- Reflexión o simetría
- Reflexión central 1: Reflexión central de un punto y de un segmento
- Reflexión central 2: Reflexión central de una figura
- Reflexión axial 1: Reflexión axial de un punto y de un segmento
- Reflexión axial 2: Reflexión axial de una figura
- Homotecia
- Homotecia
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Introducción de transformaciones geométricas en el plano
En este libro se analizan las transformaciones geométricas en el plano:[br][br]- Traslación[br][br]- Rotación[br][br]- Simetría o reflexión:[br] Simetría central o a través de un punto[br] Simetría axial o a través de un eje.[br][br]- Homotecia[br][br]Al final del libro se tiene el link de los otros libros geogebra del autor.
Traslación 1: Dado el vector de traslación
El vector de traslación es el segmento orientado [b]PQ[/b] (inicia en [b]B[/b] y termina en [b]Q[/b]). Los vectores se representan por una flecha.[br]Haga [b]clic[/b] en el botón [b]Inicia traslación[/b] para mostrar la animación automáticamente.[br]Si se quiere hacer la animación manualmente desplace el dial del deslizador [b]t[sub]1[/sub][/b].[br]El valor de[b] t[sub]1[/sub][/b] representa la parte del vector [b]PQ[/b] que se desplaza el objeto. Varía entre 0 y 1.[br]El objeto se puede modificar al mover los puntos A, D, E o F.[br]Los puntos de inicio y de fin del vector [b]PQ[/b] son libres pero [b]P[/b] es interior del objeto.
En toda traslación se cumple:[br]1. La figura imagen y la figura objeto son congruentes, es decir, tienen igual forma y tamaño. La traslación es una transformación [b]isométrica[/b].[br]2. Las dos figuras tienen la misma orientación.[br]3. Los segmentos de traslación son paralelos y de igual magnitud que el vector de traslación.
Rotación 1: Ángulo de rotación positivo
Para la [b]rotación[/b] de un objeto en el plano se requiere el [b]centro o punto de rotación[/b] y el [b]ángulo de rotación[/b].[br]El [b]ángulo de rotación[/b] puede ser [b]positivo[/b] o [b]negativo[/b]. Es positivo cuando el giro se hace en el sentido de las manecillas del reloj. Es negativo cuando el giro se hace en sentido contrario de las manecillas del reloj.[br]Utilice el [b]deslizador[/b] o la [b]casilla de entrada[/b] para dar el ángulo de rotación teniendo en cuenta que en este applet es [b]positivo[/b].[br]El centro de rotación [b]E [/b]es un punto libre. Los vértices [b]A[/b], [b]B[/b] y [b]D[/b] del polígono también son puntos libres.
En toda rotación se cumple:[br]1. La figura imagen y la figura objeto son congruentes, es decir, tienen igual forma y tamaño. La rotación es una transformación [b]isométrica[/b].[br]2. Las dos figuras tienen diferente orientación a menos que el ángulo de rotación sea [math]\pm[/math]360° o uno de sus múltiplos.[br]3. Los arcos de rotación son concéntricos en el punto de rotación y sus longitudes son proporcionales. La constante de proporcionalidad es el ángulo de rotación expresado en radianes.
Reflexión central 1: Reflexión central de un punto y de un segmento
Se consideran dos tipos de [b]reflexión[/b] en el plano: [b]reflexión central[/b] y [b]reflexión axial[/b].[br]Es [b]reflexión central[/b] cuando la reflexión se [b]hace con relación a un punto[/b].[br]Es [b]reflexión axial[/b] cuando la reflexión [b]se hace con relación a una recta[/b] llamada eje de reflexión o eje de simetría.[br]La reflexión también recibe el nombre de [b]simetría[/b]. Por eso se tiene [b]simetría central[/b] y [b]simetría axial[/b].[br][br]En este applet se analiza la [b]reflexión central[/b] de un punto y de un segmento. El [b]punto de reflexión[/b] es el punto [b]O[/b].[br][br]En la reflexión del segmento [b]PR[/b] desplace el punto [b]B[/b].
En toda reflexión se cumple:[br]1. La figura imagen y la figura objeto son congruentes, es decir, tienen igual forma y tamaño. La reflexión central es una transformación [b]isométrica[/b].[br]2. Las dos figuras tienen diferente orientación.[br]3. Las dos figuras quedan ubicadas a diferente lado y a igual distancia del punto de reflexión. La distancia de todo punto [b]B[/b] del objeto al punto de reflexión [b]O[/b] es igual a la distancia del punto de reflexión al punto [b]B' [/b]de la imagen. Los tres puntos, [b]B[/b], [b]O[/b] y [b]B'[/b] son [b]colineales[/b].[br][br]La reflexión central es equivalente a la rotación de 180° sobre el punto de reflexión.
Homotecia
[b]Homotecia[/b] en el plano es una transformación de una figura en la que los puntos correspondientes se alinean con un punto fijo y la razón entre sus distancias a este punto es constante. Esa constante se llama [b]razón de homotecia[/b]. El punto fijo se llama [b]centro de homotecia.[br][/b][br]El applet siguiente permite analizar la homotecia de un triángulo cualquiera pero podría hacerse para cualquier figura plana. El centro de homotecia es el punto [b]M[/b].[br]Utilice el deslizador para variar la [b]razón de homotecia[/b]. Analice los siguientes casos y observe las [b]características[/b] de la homotecia:[br]a) k > 0[br]b) k < 0[br]c) k = 1[br]d) k = -1[br]e) 0 < k < 1[br]f) -1 < k < 0[br]La [b]razón de proporcionalidad[/b] entre los [b]lados homólogos[/b] de las dos figuras corresponde a la razón de homotecia como se puede observar en la tabla de distancias. El homólogo de [b]a[/b] es [b]a'[/b], de [b]b[/b] es [b]b'[/b] y de [b]c[/b] es [b]c'[/b]. [i]Los dos triángulos (objeto e imagen) son semejantes. [/i]
[b]Escalas[/b]: [br]La [b]escala[/b] es la razón o relación que existe entre las dimensiones del dibujo de un objeto y las dimensiones reales del objeto. Se pude asociar con la [b]homotecia directa[/b].[br] [math]escala=\frac{dimensiones\text{\thinspace}\text{\thinspace}del\text{\thinspace}\text{\thinspace}dibujo}{dimensiones\text{\thinspace}\text{\thinspace}reales\text{\thinspace}\text{\thinspace}del\text{\thinspace}\text{\thinspace}objeto}[/math][br]Ejemplos:[br]a) Escala [b]2 : 1[/b] significa que [b]2 unidades[/b] del dibujo representan [b]1 unidad[/b] del objeto. Las medidas del dibujo son el doble de las medidas del objeto. Por lo tanto el dibujo es una ampliación. [br]b) Escala [b] 1 : 2[/b] significa que [b]1 unidad[/b] del dibujo representan [b] 2 unidades[/b] del objeto. Las medidas del dibujo son la mitad de las medidas del objeto. Por lo tanto el dibujo es una reducción.[br]En toda escala de ampliación la razón de homotecia en mayor de 1.[br]En toda escala de reducción la razón de homotecia está entre 0 y 1
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