Für die Bogenlänge brauchen wir zunächst die Ableitung des Weges. [br]Diese ist gegeben durch die Vorschrift: [math]f'\left(t\right)=\left(\begin{matrix}-2\cdot cos\left(t\right)sin\left(t\right)\\4\cdot cos\left(t\right)sin\left(t\right)\end{matrix}\right)[/math][br]Eingesetzt in die Formel für die Bogenlänge erhalten wir:[br][math]\left|K_f\right|=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\left(\left(-2cos\left(t\right)sin\left(t\right)\right)^2+\left(4cos\left(t\right)sin\left(t\right)\right)^2\right)}dt[br][/math][br][math]=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{20\cdot cos\left(t\right)^2sin\left(t\right)^2}dt[/math][br][math]=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{20}\cdot\left|cos\left(t\right)\right|\cdot\left|sin\left(t\right)\right|dt[/math][br]Für [math]t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/math] sind der Cosinus und Sinus nicht-negativ, wir können die Betragsstriche also weglassen.[br][math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{20}\cdot cos\left(t\right)sin\left(t\right)dt=\sqrt{\left(20\right)}\cdot\left[\frac{1}{2}\cdot sin\left(t\right)^2\right]_{_{_0}}^{^{^{\frac{\pi}{2}}}}=\sqrt{\frac{20}{4}}\cdot\left(sin\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-sin\left(0\right)^2\right)=\sqrt{5}\cdot\left(1^2-0\right)=\sqrt{5}[/math][br]Die Länge der Kurve ist also [math]\sqrt{5}[/math].

Für die Länge der Kurve benötigen wir die Ableitung:[br][math]f'\left(t\right)=\left(\begin{matrix}-sin\left(t\right)\\cos\left(t\right)\end{matrix}\right)[/math][br]Mit der Formel für die Bogenlänge erhalten wir:[br][math]\left|K_f\right|=\int_{_0}^{^a}\sqrt{sin\left(t\right)^2+cos\left(t\right)^2}dt=\int_{_0}^{^a}1dt=\left[t\right]_{_0}^{^a}=a[/math][br]Wir erhalten also die Länge [math]\left|K_f\right|=7[/math] indem wir [math]a=7[/math] wählen.

Der Weg durchläuft den Einheitskreis mehrmals.[br]Obwohl eine Kurve beschränkt erscheint, kann ihre Länge beliebig groß sein.