[size=200][b]VI. Vergleich Kettenlinie - Parabel[/b][br][math]\quad\quad[/math]Beispiel Hängebrücke[/size]

Ich habe kein Foto gefunden, dass die wohl berühmteste aller Hängebrücken, die Golden Gate Bridge, exakt im Profil zeigt.[br]Es gibt eine Zeichnung, in der Länge und Höhe des Mittelteils angegeben sind.[br](Beide Abbildungen: [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Golden_Gate_Bridge]Wikipedia: Golden Gate Bridge[/url], die Zeichnung wurde gespiegelt, damit die Perspektive in etwa die gleiche ist wie auf dem Foto.

Genau genommen wird die Form des Tragseils im Mittelteil der Brücke [i]nicht[/i] durch eine Cosinus-hyperbolicus-Funktion beschrieben denn es handelt sich höchstens während der Bauzeit um ein frei hängendes Seil und damit um eine Kettenlinie.[br]In der fertigen Brücke wird das Tragseil durch die vielen vertikalen Halteseile, die das Gewicht der Fahrbahn (und der Fahrzeuge) halten, zusätzlich belastet.[br]Das Gewicht der Fahrbahn ist erheblich größer als das Gewicht der Seile. Vernachlässigt man das Eigengewicht der Seile, ergibt sich mathematisch für die Form des Tragseils tatsächlich eine Parabel.[br](Siehe Anhang: [url=https://www.geogebra.org/m/nthwxa9e#material/deqe7rbc]Differentialgleichung zur Hängebrücke[/url])[br][br]Wir betrachten hier beide Funktionstypen.[br]Das Koordinatensystem wird so gelegt, dass die y-Achse die Symmetrieachse für den Mittelteil wird.[br]Die x-Achse wird man wohl entweder auf die Höhe der Fahrbahn oder auf die Höhe des Wasserspiegels legen.[br]Ich habe mich für den Wasserspiegel entschieden. Die Fahrbahn ist im Mittelteil keine ebene Fläche, wie man auf vielen Fotos erkennen kann. Ihr Abstand zur Wasseroberfläche ist in der Mitte etwas größer als bei den beiden Pylonen.

Im GeoGebra-Applet ist zu erkennen, dass im Bereich zwischen den Aufhängepunkten A und B der grün punktiert gezeichnete Graph der Parabel p und der blau gestrichelte Graph der Kettenlinie nicht erkennbar voneinander abweichen.[br][br]Eine Berechnung für die Länge des Tragseils zwischen A und B ergibt für die Kettenlinie nach der Formel[br][math]l = 2\, a \cdot \sinh\left(\frac{c}{a}\right) [/math] den Wert [math]l = 13,2693[/math]. Da eine Längeneinheit im Koordinatendiagramm einer Strecke von 100m entspricht, wäre das Tragseil demnach 1.326,93m lang.[br][br]Legt man dagegen die Parabelgleichung zugrunde, ergibt sich eine Länge von 1.326,62m.[br][br]Der Unterschied von 31cm ist bei einer Gesamtlänge von über einem Kilometer so gering, dass er deutlich unter der Längendifferenz liegt, die sich schon allein aus den Temperaturdifferenzen zwischen Sommer und Winter ergibt.[br][size=85]Die Formel für die Berechnung der Länge bei der Parabel ist ziemlich kompliziert. Zur Herleitung siehe Anhang: [url=https://www.geogebra.org/m/nthwxa9e#material/zzzvaa9s]Längenberechnung an der Parabel[/url].[/size]