В тетраэдре DABC точка М - середина DA, РDС и DР:РС=1:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М и Р и параллельно ВС. Найдите площадь сечения, если все ребра тетраэдра равны а.

Построить EP║BC, тогда PEM - сечение.[br]ME=MP, т.к. EP║BC=>ED:EB=1:3[br]AD=BC=>MD=a/2 [br]DP=a/4[br][math]\angle ADC=60^\circ=>MP^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{16}-2\cdot\frac{a\cdot a\cdot1}{2\cdot4\cdot2}=\frac{3a^2}{16}[/math][br]=>MP[math]\frac{a\sqrt{3}}{4}[/math][br]SP=a/4[br]MG - высота MPE=> MH┴PE[br][br]S[math]_{фигуры}[/math]=[math]\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{3a^2}{16}-\frac{a^2}{64}}\right)\cdot\frac{a}{4}=\frac{a^2\sqrt{11}}{64}[/math][br][br][br]Ответ: S= [math]\frac{a^2\sqrt{11}}{64}[/math][br][br]

В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1основание АВСD - квадрат со стороной, равной 8 см, остальные грани прямоугольники, боковое ребро равно 3 см. Е - середина A1B1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью , проходящей через АС и точку Е, и найдите периметр сечения.[br]Построим отрезки AC, AE.[br][b][br]Решение и построение:[/b][br][br]Точка К будет серединой B1C1, т.к. A и C лежат на концах диагонали квадрата ABCD, а третья точка задающая плоскость E - середина стороны A1B1.[br][math]AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}СМ[/math][br]AEKC - ТРАПЕЦИЯ[br]EK=1/2 A1C1=4[math]\sqrt{2}[/math][br][br]A1B=1/2AB=4CM[br][br]EK=KC=[math]\sqrt{AA_1^2+A1E^2}=\sqrt{9+16}=5CM[/math][br][br]P(EKCA)=AC+CK+EK+EA=8[math]\sqrt{2}[/math]+4[math]\sqrt{2}[/math]+5+5=12[math]\sqrt{2}[/math]+10[math]\approx[/math]27 CM[br][br]Ответ: P[math]_{EKCA}[/math][math]\approx[/math]27CM