Primeiro será ensinado como calcular a distância entre dois planos, porque a estratégia usada no segundo caso(entre um plano e uma reta) é bem semelhante. [br]Para isso é preciso lembrar que existem [b]3 casos possíveis[/b] quando dois planos são envolvidos. Embora sejam 3 casos, você [b]já sabe[/b] calcular a distância em todos eles. Os casos são:[br]1ºcaso- Planos Coincidentes[br]2ºcaso- Planos Coincidentes[br]3ºcaso- Planos Paralelos[br][br]É bom lembrar também que o plano muitas vezes é denotado com letras gregas como [math]\pi[/math] ou [math]\beta[/math] , e que existem as seguintes denotações: [br]D([math]\pi[/math],[math]\beta[/math]) que é distância do plano [math]\pi[/math] ao plano [math]\beta[/math] .[br]D([math]\pi[/math],r) que é distância do plano [math]\pi[/math] à reta r.[br]D([math]\pi[/math],P) que é distância do plano [math]\pi[/math] ao ponto P.

Nesse caso, os planos estão sobrepostos, ou seja, representam o [b]mesmo plano[/b] e por isso a [b]distância entre eles é zero.[/b][br]Para analisar dois planos [b]não basta [/b]comparar somente o os vetores normais, porque se eles forem paralelos por exemplo, o vetor normal será o mesmo. Sendo assim, é preciso comparar a equação do plano de ambos e ver se são equivalente. Por exemplo:[br]plano [math]\pi[/math]: x-2y+z-3=0[br]plano [math]\beta[/math]: 2x-4y+2z-6=0[br]Como o plano [math]\beta[/math] é múltiplo do plano [math]\pi[/math], quer dizer que eles são equivalentes, e assim, coincidentes.[br][b]Outra maneira de verificar [/b]é a seguinte: ver se não possuem algum ponto em comum.

Nesse caso, os planos se intersectam, [b]logo a distância entre eles é 0 também[/b]. Vale lembrar que se na interseção entre duas retas o resultado era um ponto, [b]a interseção entre dois planos resulta uma reta[/b], como demonstrado na imagem a seguir. Como o foco desse book é o cálculo de distâncias, não iremos deduzir como fazer isso agora, mas saiba que é possível e que pode ser cobrado nas avaliações.[br][b]Para saber se dois planos são concorrentes[/b] ou não [b]basta ver o vetor normal deles[/b]. Caso sejam diferentes(ou melhor dizendo, não múltiplos), quer dizer que os planos são concorrentes.[br]

Esse caso [b]é o único que a distância não é zero[/b], e é necessário realizar contas para acha-la. Porém, [b]já se sabe como fazer isso[/b]. Isso porque a distância entre dois planos é sempre a mesma, ou seja constante, e por isso você [b]transforma o problema[/b] que era distância entre dois planos em um problema que é [b]distância entre um plano e um ponto[/b](sendo esse ponto pertencente à um dos planos), e isso já se sabe como resolver pela seção anterior.[br][b]Para saber se dois planos são paralelos[/b] basta analisar o vetor normal de ambos. Caso o vetor normal seja o mesmo(ou múltiplos) eles [b]podem ser paralelos ou coincidentes[/b]. Para saber qual é caso basta ver se eles [b]não possuem algum ponto em comum.[/b] Caso possuam um ponto diferente eles serão paralelos.

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O estudo desse caso [b]é bem similar ao anterior[/b]: há três casos possíveis, dois onde a distância é zero e um que será necessário calcula-la.

Nesse caso, como sugerido no título, pertence ao plano, e [b]nesse caso a distância é zero[/b]. [br][br]Para descobrir se a reta está contida há uma estratégia: ver se o [b]produto escalar[/b] do vetor diretor da reta com o vetor normal do plano dá zero. [b]Caso isso aconteça[/b], significa que a reta é [b]OU [/b]é paralela ao plano [b]OU[/b] está contida no plano. O que diferencia os dois casos são os pontos em comum, se um ponto qualquer [b]da reta[/b] pertencer ao plano, ela está contida, caso o o ponto analisado nao seja comum a reta é paralela ao plano.

Nesse caso, há interseção em um ponto dos dois elementos e por tanto [b]a distância é zero. [br][br][/b]A melhor estratégia para ver se um plano e uma reta são concorrentes é simples: ver se o [b]produto escalar[/b] do vetor diretor da reta com o vetor normal do plano dá [b]diferente de zero[/b]. Se o produto escalar for diferente de zero quer dizer que eles não são paralelos, logo, se tocam em algum ponto.

Nesse caso a distância é a mesma pra qualquer ponto e é o [b]único dos três no qual é necessário calcular a distância[/b]. [br][br]Para descobrir se a reta é paralela ao plano há uma estratégia: ver se o [b]produto escalar[/b] do vetor diretor da reta com o vetor normal do plano dá zero. [b]Caso isso aconteça[/b], significa que a reta é [b]OU [/b]é paralela ao plano [b]OU[/b] está contida no plano. O que diferencia os dois casos são os pontos em comum, se um ponto qualquer [b]da reta[/b] pertencer ao plano, ela está contida, caso o o ponto analisado não seja comum a reta é paralela ao plano.