Funzione
Table of Contents
- Definizioni iniziali
- Relazioni e funzioni: caratteristiche di base
- Input & Output (I)
- Input & Output (2)
- Ex1 - Evaluating Functions Algebraically
- Ex 2: funzione o no?
- Ex 3
- Function Or Not?
- Dominio_Codominio
- Dominio e immagine
- Domain and Range of f(x)
- Test
- Dominio
- Funzione pari - dispari
- Pari_dispari
- Funzioni pari e funzioni dispari
- Test 1
- Test 2
- Funzione iniettiva suriettiva biiettiva
- Funzione iniettiva suriettiva biiettiva
- Ex1
- Ex2
- Ex 3
- Segno e zeri di una funzione
- Segno di una funzione
- Segno di funzione dinamica
- La funzione signum
- Zeri e intercette
- Funzione inversa
- La funzione inversa
- Inverse Functions
- Esercizio riassuntivo
- Ex riassuntivo
Relazioni e funzioni: caratteristiche di base
[size=150][color=#ff0000][size=200]RELAZIONI E FUNZIONI[/size][br][/color][/size]Definiamo una [color=#ff0000][b]relazione[/b][/color] tra due insiemi un qualsiasi legame tra di essi che associa ad un elemento del primo insieme uno o più elementi del secondo. Per dare un nome ad una relazione si utilizza una lettera minuscola. Facciamo un esempio.[br][br]Dati l'insieme delle lettere e quello delle parole, la relazione [b][i]p[/i][/b]: "[math]\large{x \rightarrow\ una\ parola\ che\ inizia\ con\ x}[/math]", permette di associare ad una lettera [math]x[/math] (ad esempio "c") la parola "casa", "cattedra" o altre; alla lettera "s" verranno associate parole come "stella", "studente" e così via. Se chiamiamo [math]y[/math] l'elemento associato ad [math]x[/math], possiamo descrivere la relazione scrivendo [b][i]p[/i][/b] : "[math]\large{y\ inizia\ con\ x}[/math]".
Si chiama [color=#ff0000][b]funzione[/b][/color] una relazione che ad ogni elemento del primo insieme associa [b]un solo elemento del secondo insieme[/b]. L'esempio visto sopra è una relazione ma [b]non[/b] è una funzione, perché data una lettera esistono ovviamente più parole che iniziano con quella lettera. Se invece consideriamo la relazione [b][i]i[/i][/b]:"[math]\large{y\ è\ l'iniziale\ di\ x}[/math]", mostrata qui sotto, abbiamo che ogni lettera ha una sola iniziale. La relazione [b][i]i[/i][/b] quindi è anche una funzione.
Una funzione può anche essere considerata una "relazione univoca", in quanto ad ogni elemento del primo insieme viene assegnato in modo univoco (cioè unico) l'elemento del secondo insieme. Avere una funzione, ovvero definire in maniera univoca il risultato, è particolarmente importante per le relazioni [i]matematiche[/i], dato che in genere è necessario che ogni operazione porti ad un solo risultato univocamente definito, cioè che sia lo stesso per chiunque stia applicando quell'operazione. [br][br][size=150][color=#ff0000][size=200]LE VARIABILI DI UNA FUNZIONE[/size][/color][/size][br][color=#ff0000]La [/color][math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math], cioè l'elemento preso nel primo insieme, viene chiamata [color=#ff0000][b]variabile indipendente[/b][/color], perchè è un elemento che [color=#ff0000]varia[/color] (nell'esempio posso considerare varie parole) e può essere scelto [color=#ff0000]liberamente[/color] da chi utilizza la funzione; può anche essere considerato l'[color=#ff0000][b]input[/b][/color] che la funzione riceve ed a cui essa associa un [color=#0000ff][b]output[/b][/color], o [color=#0000ff][b]risultato[/b][/color], cioè la [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math], il cui nome formale è [b][color=#0000ff]variabile dipendente[/color][/b] perché [color=#0000ff]dipende[/color] appunto dalla [math]x[/math] che abbiamo scelto in partenza: una volta scelta liberamente la [math]x[/math], la [math]y[/math] viene stabilita univocamente dalla funzione, e noi non abbiamo scelta in proposito. [br][br]Nell'esempio riportato sopra si può dire che [color=#0000ff]"s"[/color] è [color=#0000ff]l'output[/color] prodotto dall'[color=#ff0000]input "stella"[/color] secondo la funzione [b]i[/b]. [br][br]La [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math] che viene trovata come risultato di una certa [math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math] secondo una data funzione viene anche chiamata [b][color=#0000ff]immagine[/color][/b] della [math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math] di partenza, che per contro può essere definita come [color=#ff0000][b]controimmagine[/b][/color] della [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math] corrispondente. [br][br]Ad esempio [color=#0000ff]"m"[/color] è [color=#0000ff]l'immagine[/color] di [color=#ff0000]"micio"[/color] e di [color=#ff0000]"monte"[/color], che sono quindi sue [color=#ff0000]controimmagini[/color]; [color=#ff0000]"casa"[/color] è la [color=#ff0000]controimmagine[/color] dell'[color=#0000ff]output "c"[/color].[br][br]Le varie notazioni possibili per indicare le variabili di una funzione possono essere riassunte quindi nella seguente tabella:[br][br] [table] [tr][br] [td]x[/td][br] [td]y[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]variabile indipendente[/td][br] [td]variabile dipendente[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]input[/td][br] [td]output [/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]controimmagine[/td][br] [td]immagine[/td][br][/tr][br][/table][br]L'insieme dei valori nell'insieme di partenza per cui la funzione genera un risultato è detto [b]dominio[/b] (in Inglese: [i]domain[/i]) della funzione. L'insieme dei valori nell'insieme di destinazione che sono un risultato di qualche input (cioè che sono controimmagine di almeno una [math]\large{x}[/math] è detto codominio (in Inglese: [b]range[/b]).[br][br]Si possono specificare l'insieme da cui la funzione prende i suoi input e quello in cui prende i suoi output con la notazione [math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math] (ad esempio in questo caso affermiamo che la variabile indipendente (input) e quella dipendente (output) della funzione sono entrambe prese dall'insieme dei numeri reali. Si chiamano [b]funzioni reali di variabile reale[/b].
Dominio e immagine
Analizza il grafico e scopri il dominio e l'immagine della funzione visualizzata.[br]Puoi modificare in ogni istante il grafico della funzione, muovendo i punti gialli.
Pari_dispari
Funzione iniettiva suriettiva biiettiva
RIASSUMENDO..
Una funzione che ad ogni input associa un output differente si dice [b]iniettiva[/b]. Ossia ad ogni elemto del codominio corrisponde [u]al massimo[/u] una controimmagine.[br][br]Si definisce [b]suriettiva[/b] una funzione per cui ogni elemento dell'insieme di destinazione è controimmagine di un elemento dell'insieme di partenza (detto in altri termini: se l'insieme di destinazione coincide con il codominio).[br][br]Se una funzione è sia iniettiva che suriettiva si dice [b]biiettiva [/b]o [b]biunivoca[br][/b][br]La suriettività si può ottenere lasciando invariata la legge della funzione e cambiando solo l'insieme di destinazione, la condizione più importante per la biunivocità resta la prima, cioè l'iniettività, e quindi può essere "approssimata" con essa.
Segno di una funzione
La funzione inversa
Data una funzione [math]\large{y=f\left(x\right)}[/math], si definisce [color=#ff0000][b]funzione inversa[/b][/color] quella funzione che inverte l'input con l'output, cioè la [math]\large{x}[/math] con la [math]\large{y}[/math]: essa è permette quindi, a partire da un elemento di tipo [math]\large{y}[/math], a trovare il corrispondente elemento di tipo [math]\large{x}[/math] che lo genera secondo la funzione originale.[br][br]Ad esempio se consideriamo la funzione [math]c:\large{\ y\ è\ la\ capitale\ di\ x}[/math], che ad ogni stato [math]x[/math] associa la corrispondente capitale [math]y[/math], la sua inversa sarà [math]s:\ \large{y\ ha\ per\ capitale\ x}[/math], che ad ogni capitale [math]x[/math] associa uno stato [math]y[/math].
Vediamo che stati e capitali si scambiano il ruolo di [math]\large{x}[/math] ed [math]\large{y}[/math], perchè per la funzione [i][b]c[/b][/i] gli stati sono la variabile indipendente (la [math]\large{x}[/math]) e le capitali sono la variabile dipendente (la [math]\large{y}[/math]), mentre per la funzione [i][b]s[/b][/i] vale il contrario.[br][br]Per indicare la funzione inversa si utilizza spesso una notazione pseudo-esponenziale, per cui l'inversa della funzione [math]\large{f}[/math] viene indicata con [math]\large{f^{-1}}[/math], similmente a come un'esponente negativo inverte una frazione.[br][br]Notiamo infine che se consideriamo l'inversa di una funzione inversa, riotteniamo la funzione di partenza. Possiamo dire insomma che [math]\large{(f^{-1})^{-1} = f}[/math].[br][br][color=#ff0000][size=150]INVERTIRE LE FUNZIONI MATEMATICHE: FUNZIONI ALGEBRICHE[/size][/color][br]Le funzioni inverse si definiscono ovviamente anche per le funzioni matematiche. Ad esempio la funzione [math]\large{f:y=2x}[/math] ha per inversa [math]\large{f^{-1}:y=\frac{1}{2}x}[/math], come puoi facilmente verificare. Da notare che [color=#ff0000][b]per ottenere la funzione inversa basta invertire la formula descritta dalla funzione, utilizzando come al solito i principi di equivalenza[/b][/color]. Vediamo un esempio più significativo.[br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO[/color][/b] [br][color=#0000ff]Giorgia lavora come rider e guadagna 2€ al giorno più 3€ per ogni consegna. Scrivi le espressioni delle seguenti funzioni:[br][/color][list][*][color=#0000ff]la funzione [math]\large{y= g(x)}[/math] che restituisce guadagno [math]\large{y}[/math] di Giorgia in un giorno in cui ha svolto [math]\large{x}[/math] consegne[/color][/*][color=#0000ff][br][/color][*][color=#0000ff]la funzione inversa [math]\large{y= g^{-1}(x)}[/math] che indica il numero di consegne [math]\large{y}[/math] che Giorgia deve effettuare in un giorno per guadagnare [math]\large{x}[/math] euro[/color][br][/*][/list][br][br]Notiamo innanzitutto che le due funzioni sono effettivamente una l'inverso dell'altra, perchè nella prima la [math]\large{x}[/math] rappresenta il numero di consegne e la [math]\large{y}[/math] il corrispondente guadagno, mentre nella seconda le due grandezze si scambiano di ruolo. [br][br]La prima funzione è piuttosto semplice: si tratta di una funzione lineare (il cui grafico è una retta) dall'espressione [math]\large{g: y=2+3x}[/math]. [br][br]Per ottenere la funzione inversa possiamo innanzitutto scambiare la [math]\large{x}[/math] e la [math]\large{y}[/math], ottenendo [math]\large{g^{-1}: x=2+3y}[/math], dopodichè ricaviamo la [math]\large{y}[/math], ovvero invertiamo la formula con i seguenti passaggi:[br][br][math]\large{x\textcolor{red}{- 2}=3y+2\textcolor{red}{- 2} \qquad \rightarrow \qquad \frac{x-2}{\textcolor{red}{3}}=\frac{3y}{\textcolor{red}{3}}\qquad \rightarrow \qquad \frac{1}{3}x -\frac{2}{3}=y}[/math], ovvero [math]\large{g^{-1}: y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}}[/math].[br][br]Vediamo ora l'interessante relazione che c'è tra il grafico di una funzione e quello della sua inversa.[br]
[color=#ff0000][size=150]UN ESEMPIO DI FUNZIONE MATEMATICA NON INVERTIBILE: LA RADICE ALGEBRICA[/size][/color][br]Anche le funzioni matematiche possono essere non biunivoche, e quindi non invertibili. Se consideriamo ad esempio la funzione [math]\large{q: y=x^2}[/math], vediamo che non è biunivoca, dato due numeri opposti danno lo stesso quadrato: [math]\large{2}[/math] e [math]\large{-2}[/math], [math]\large{3}[/math] e [math]\large{-3}[/math] e così via. Ne consegue che se definiamo una funzione inversa [math]\large{q^{-1}: y=\sqrt{x}}[/math], descritta da [math]\large{q^{-1}:\ y\ è\ un\ numero\ che\ elevato\ al\ quadrato\ è\ uguale\ a\ x}[/math], essa [b]non[/b] da un risultato univoco, e quindi [b]non[/b] è una funzione. Tradotto in termini pratici potremmo metterla così: mentre calcolando il quadrato di 8 sulla calcolatrice siamo tutti d'accordo l'unico risultato possibile è 64, calcolando la radice di 64 la calcolatrice potrebbe dare due risultati: 8 o -8.[br]
La radice quadrata, intesa come inversa dell'elevamento al quadrato, [b]non[/b] dà un risultato univoco (quindi non è una funzione).
[color=#ff0000][size=150]RENDERE INVERTIBILE UNA FUNZIONE RESTRINGENDO IL DOMINIO DI PARTENZA[/size][/color][br][b][color=#ff0000]Per rendere invertibile una funzione, si può decidere di limitare il suo insieme di partenza in modo da rendere biunivoca la funzione[/color][/b]. Nel nostro esempio dei padri e dei figli, se modifichiamo la funzione [i]p[/i] in questo modo [math]p': \large{y\ ha\ come\ primogenito\ x}[/math] la funzione diventa biunivoca, dato che ogni padre ha un solo primogenito (per i pignoli: anche nel caso dei gemelli c'è sempre uno che nasce prima dell'altro). La funzione, quindi, restringendo l'insieme dei "figli" quello dei "primogeniti", può essere invertita.
Se restringiamo l'insieme di partenza ai soli primogeniti, la funzione [i][b]p[/b][/i] diventa biunivoca e quindi è invertibile: anche la sua inversa ha un risultato univoco e quindi è una funzione.
Un esempio di funzioni non biunivoche che possono essere rese tali restringendo il dominio di partenza sono le funzioni goniometriche, come mostrato nell'animazione qui sotto.
Ex riassuntivo
Osserva il grafico della funzione f. E deduci
Dominio; Codominio; La funzione è iniettiva? Suriettiva? Biunivoca?; Segno della funzione; Zeri; f(-2); Controimmagine di -3; Numero di soluzioni dell'equazione f(x)=1; Immagine di 2.