Quina dimensió tenen?
Esmenta tres exemples d'objectes que siguin 2D i tres exemples d'objectes que siguin 3D:
Com es relacionen les dimensions?
Observa la imatge següent:
Fixa't que:[br][list][*]"Dins" d'un punt ideal no hi ha espai per moure's, té zero dimensions 0D (a la imatge hi ha dibuixat un cercle en comptes d'un punt sense dimensió, ja que no el veuríem).[/*][*]Si arrossegues el punt en "una direcció" passes a tenir un segment que té 1D.[/*][*]Si arrossegues tots els punts del segment en "una direcció diferent de l'usada per crear-lo" passes a tenir un quadrat, 2D.[/*][*]Si arrossegueus tots els punts del quadrat en "una direcció diferent de l'usada per crear-lo" passes a tenir un cub, 3D.[/*][/list]
Què passa quan faig més gran els objectes?
Mira què passa en segment, el quadrat i el cub quan els escalo per 2 (faig els seus costats el doble de llargs):
1D: Quan escalo el segment original per 2, quantes vegades podries dir que es repeteix?
2D: Quan escalo el quadrat original per 2, quantes vegades podries dir que es repeteix?
3D: Quan escalo el quadrat original per 2, quantes vegades podries dir que es repeteix?
Com puc calcular la dimensió d'un objecte?
[br][br]1D:[br]Veuràs que en multiplicar per [color=#9900ff]2 l'extensió[/color] del [b]segment[/b] que és d'[color=#ff0000]1 dimensió[/color], acabem tenint [color=#1e84cc]2 vegades[/color] el segment original: [color=#9900ff]2[/color][color=#ff0000]¹[/color] = [color=#1e84cc]2[/color].[br][br][br]2D:[br]Veuràs que en multiplicar per [color=#9900ff]2 l'extensió[/color] del [b]quadrat[/b] que és de [color=#ff0000]2 dimensions[/color], acabem tenint [color=#1e84cc]4 vegades[/color] el segment original: [color=#9900ff]2[/color][color=#ff0000]²[/color] = [color=#1e84cc]4[/color].
3D:[br]Fes una explicació com les anteriors pel cas del cub, incloent-hi l'expressió de càlcul que relaciona el canvi a l'[color=#9900ff]extensió[/color], amb les [color=#ff0000]dimensions[/color] i les [color=#1e84cc]vegades[/color] que es repeteix.
Quina dimensió té el Triangle de Sierpinski?
Usarem el mètode anterior per calcular la dimensió d'aquesta fractal:
Quan escalo el Triangle de Sierpinski original per 2, quantes vegades podries dir que es repeteix?
De manera que podem escriure la relació següent: [color=#9900ff]2[/color][color=#ff0000][sup]?[/sup][/color] = [color=#1e84cc]3[/color].[br][br]És a dir, que quan he multiplicat per [color=#9900ff]2 l'extensió[/color] del [b]triangle de Sierpinski[/b] l'he acabat tenint [color=#1e84cc]3 vegades[/color]. Així que puc calcular quin nombre hauria de posar al lloc de l'actual [color=#ff0000]? dimensions[/color] que correspondrà justament a les dimensions que té el triangle.[br][br]Resulta que:[br][list][*]si la dimensió fos 1, aleshores [color=#9900ff]2[/color][color=#ff0000][sup]1[/sup][/color] = [color=#1e84cc]2[/color] és massa petit.[/*][*]si la dimensió fos 2, aleshores [color=#9900ff]2[/color][color=#ff0000][sup]2[/sup][/color] = [color=#1e84cc]4[/color] és massa gran.[/*][/list][br]I per tant deu d'estar entremig. En matemàtiques jo puc saber "a quin número he d'elevar 2 perquè em doni 3" a través de la funció logaritme [math]log_2\left(3\right)\approx1,585[/math] la qual cosa significa que:[br][list][*]la [b]dimensió[/b] del Triangle de Sierpinski [b]és aproximadament 1,585[/b] ja que [color=#9900ff]2[/color][color=#ff0000][sup]1,585[/sup][/color] = [color=#1e84cc]3[/color].[/*][/list][br]De fet, precisament d'aquí és d'on va sortir el nom de [b]fractal[/b], del fet que no tenen una dimensió entera (1D, 2D, 3D...) sinó que és una fracció (ex. 1,585 en aquest cas, però altres fractals tenen altres dimensions).
Fonts d'informació i imatges:
Internal, What is a fractal[br]- https://iternal.us/what-is-a-fractal/[br][br]Mathigon, Fractales[br]- https://es.mathigon.org/course/fractals/