In questo capitolo studiamo alcuni esempi speciali di funzioni, che in seguito saranno utili per definire in modo semplice esempi di certi tipi di proprietà.[br][br][size=150][color=#ff0000]FUNZIONI DEFINITE A TRATTI[/color][/size][br]Se [b]la legge[/b] che partendo da un certo input [math]\large{\overline{x}}[/math] ci permette di ottenere il corrispondente risultato [math]\large{\overline{y}=f(\overline{x})}[/math] [b]cambia a seconda dell'intervallo di valori in cui consideriamo la [/b][math]\large{\overline{x}}[/math][b] di partenza[/b], possiamo descrivere questo comportamento con una funzione definita a tratti. Ne vediamo un esempio nell'animazione qui sotto.

[size=150][color=#ff0000][left][/left]LE FUNZIONI CON VALORI ASSOLUTI[br][/color][/size]Le funzioni in cui compaiono degli operatori di modulo, o valore assoluto, possono essere viste come esempi particolari di funzioni definite a tratti. Questo perché il modo di calcolare il risultato del valore assoluto cambia a seconda di come è fatto il suo argomento, e quindi deve essere definito in modo diverso a seconda dei casi. Vediamo alcuni esempi.[br][br]Sappiamo che prendere il valore assoluto di un numero significa considerare quel numero senza il suo segno. Ad esempio [math]\large{|+6|=6}[/math] mentre [math]\large{|-3|=3}[/math]. Dato che un numero senza segno si intende positivo, se ne conclude che il valore assoluto di qualsiasi numero non è mai negativo e questo ci permette di dire che [b]il valore assoluto di una quantità[color=#38761d] coincide con la quantità stessa quando essa è positiva[/color], [color=#ff0000]mentre è la quantità cambiata di segno quando essa è negativa[/color][/b] (se è negativa le cambiamo di segno e la facciamo diventare positiva).[br][br]Per trovare il valore assoluto quindi [b]si segue una legge diversa a seconda dell'argomento, cioè della quantità tra valore assoluto: [br][list][*][b][color=#38761d]argomento [/color][/b][color=#38761d]positivo [math]\large{\rightarrow}[/math] prendi una copia dell'argomento[/color];[/*][*][color=#ff0000]argomento negativo[math]\large{\rightarrow}[/math] prendi l'argomento con il segno cambiato[/color]. [/*][/list][/b][br]In particolare [color=#ff0000]per cambiare il segno all'argomento basta moltiplicarlo per il segno [math]\large{\textcolor{red}{-}}[/math][/color]. [br][br]Possiamo esprimere questo comportamento tramite la notazione delle funzioni definite a tratti. Se una funzione ha come risultato il valore assoluto di [math]\large{x}[/math] possiamo dire che si calcola seguendo la legge:[br] [br][math]\large{y=f(x)=|x| = \begin{cases} \textcolor{#007700}{x}&\qquad \textcolor{#007700}{\text{se } x\ge 0}\\\textcolor{red}{-x}&\qquad \textcolor{red}{\text{se } x<0} \end{cases}}[/math][br] [br]Questo vale più in generale. Consideriamo ad esempio la funzione [math]\large{y=g(x)=|\textcolor{blue}{x-2}|}[/math]; per capire come calcolarne l'output [math]\large{y}[/math] dobbiamo capire distinguere i due casi: [br][list][*][color=#0000ff]quando [/color][color=#0000ff][b]argomento del modulo [/b]è positivo, prenderemo il modulo così com'é[/color][/*][*][color=#0000ff]quando invece è negativo lo moltiplicheremo per [math]\large{-}[/math] in modo da cambiargli di segno.[b] [/b][/color][/*][/list][math]\large{y=|\textcolor{blue}{x-2}| = \left \{ \begin{array}{ll} \textcolor{blue}{x-2}&\text{se } \textcolor{blue}{x-2}\ge 0\\-(\textcolor{blue}{x-2})& \text{se } \textcolor{blue}{x-2}<0 \end{array} \right .\qquad \longrightarrow\qquad y=|x-2|= \left \{ \begin{array}{ll}\textcolor{#007700}{x-2}&\textcolor{#007700}{\text{se } x-2\ge 0}\\\textcolor{red}{-x+2}&\textcolor{red}{\text{se } x-2<0} \end{array} \right .}[/math][br][br]Abbiamo ripetuto la definizione di modulo, sostituendo come argomento al posto di [math]\large{x}[/math] la nostra espressione. Svolgendo i calcoli, ed in particolare le condizioni dopo i "se" che definiscono quando dobbiamo utilizzare l'espressione verde e quando quella rossa, otteniamo:[br][br][math]\large{y=|x-2|= \left \{ \begin{array}{ll}\textcolor{#007700}{x-2}&\textcolor{#007700}{\text{se } x\ge 2}\\\textcolor{red}{-x+2}&\textcolor{red}{\text{se } x<2} \end{array} \right .}[/math][br][br]Questa forma ci permette di disegnare il grafico della funzione: [br][list][*][color=#38761d]per le [math]\large{x\ge 2}[/math] dobbiamo seguire la legge verde[/color], perché con esse l'argomento [math]\large{x-2}[/math] risulta positivo e quindi non ha bisogno di cambiare di segno, [/*][*][color=#ff0000]per le altre la legge rossa[/color], perché con esse [math]\large{x-2}[/math] risulta negativo e quindi il valore assoluto gli cambia di segno.[/*][/list][br]Vediamo nell'animazione qui sotto che in questo modo ci garantiamo che il risultato [math]\large{y}[/math] è una quantità sempre positiva, come ci aspettiamo dato che è il valore assoluto di qualcosa.

I grafici con valore assoluto hanno risultato sempre positivo, e per loro vale il discorso della simmetria attorno all'asse delle x, [b]solo se l'intera espressione della funzione è presa in valore assoluto (e quindi è garantita essere positiva)[/b]. Se l'operatore di modulo è applicato solo ad una parte di essa questo non vale più, anche se continua ad essere applicabile l'approccio "a tratti".[br][br]Se ad esempio consideriamo la funzione [math]\large{y=f(x)=|\textcolor{blue}{2x-4}|-1}[/math], possiamo osservare che[br][list][*]abbiamo la garanzia che il valore assoluto sarà non negativo; tuttavia la [math]\large{y}[/math], che si ottiene sottraendo a questo un [math]\large{1}[/math], non ha la stessa garanzia;[/*][*]per ottenere la legge con cui calcolare il risultato dovremo discutere il segno [color=#0000ff]dell'argomento del valore assoluto[/color]:[/*][/list][br][math]\large{y=|\textcolor{blue}{2x-4}|-1 = \left \{ \begin{array}{ll}\textcolor{blue}{2x-4}-1 &\text{ se } \textcolor{blue}{2x-4} \ge 0\\\textcolor{red}{-(}\textcolor{blue}{2x-4}\textcolor{red}{)}-1 &\text{ se } \textcolor{blue}{2x-4} < 0 \end{array} \right .}[/math] [br][br]che, svolgendo tutti i conti, porta a [br][br][math]\large{y=|\textcolor{blue}{2x-4}|-1 = \left \{ \begin{array}{ll}\textcolor{#007700}{2x-5 }&\textcolor{#007700}{\text{ se } x \ge 2}\\\textcolor{red}{-2x+3}&\textcolor{red}{\text{ se } x < 2 }\end{array} \right .}[/math][br][br]vediamo nell'animazione sotto come ottenere la rappresentazione di questa funzione.

Nell'ultima parte dell'attività abbiamo utilizzato quello che abbiamo imparato sulla traslazione di elementi nel piano cartesiano per vedere in un altro modo come tracciare la curva della funzione. Nel caso tu abbia bisogno di ripassare questo argomento, lo puoi trovare in [url=https://www.geogebra.org/m/bENRgkEw#chapter/101345]questo capitolo[/url].[br][br]Nel [url=https://www.geogebra.org/m/pbxbsjev]prossimo capitolo[/url] vedremo come la conoscenza delle funzioni che contengono valori assoluti è molto utile per visualizzare e risolvere [b]equazioni e disequazioni[/b] che contengono questo operatore.