Ableitung der Exponentialfunktion erkunden

Mit diesem Applet kannst du verschiedene [b][color=#38761d]Exponentialfunktionen[/color] [/b]der Form [b][color=#38761d]f(x) = a [math]\cdot[/math]b[sup]x [/sup][/color][/b]und ihre [b][color=#cc0000]Ableitungen[/color][/b] darstellen. [br][br]Mit dem [b]Schieberegler a[/b] veränderst du den [b]Vorfaktor = den Anfangswert[/b] (y-Achsenabschnitt).[br]Mit dem [b]Schieberegler b[/b] veränderst du die [b]Basis = den Wachstumsfaktor[/b].

Klicke im Applet auf den Kreis unten links, um den Graphen der jeweiligen [color=#cc0000][b]Ableitungsfunktionen[/b][/color] [color=#cc0000]f'(x) [/color]anzuzeigen.[br][br]Wie kann man den Verlauf der [b][color=#cc0000]Ableitungsfunktionen[/color][/b] beschreiben?

Die [b][color=#cc0000]Ableitungsfunktionen[/color][/b] haben die Form einer [b]linearen Funktion[/b]. Die [b][color=#cc0000]Ableitungsfunktionen[/color][/b] haben die Form einer [b]ganzrationalen Funktion[/b]. Die [b][color=#cc0000]Ableitungsfunktionen[/color][/b] haben die Form einer [b]Exponentialfunktion[/b].

Stelle den Schieberegler ([b]a[/b]) auf [b]1[/b].[br]Verschiebe dann den Schieberegler ([b]b[/b]) und beobachte, was passiert. (mehrere Antworten sind korrekt)

Es gibt eine [b][color=#38761d]Ausgangsfunktion[/color][/b], die mit ihrer [color=#cc0000][b]Ableitungsfunktion[/b][/color] [b]identisch[/b] ist. Je[b] steiler[/b] die [b][color=#38761d]Ausgangsfunktion[/color][/b], umso [b]flacher[/b] wird die [b][color=#cc0000]Ableitungsfunktion[/color][/b]. Je [b]steiler[/b] die [b][color=#38761d]Ausgangsfunktion[/color][/b], umso [b]steiler[/b] wird auch die [color=#cc0000][b]Ableitungsfunktion[/b][/color].

Gib den [b]Wachstumsfaktor (b)[/b] an, bei dem die Exponentialfunktion und ihre Ableitungsfunktion identisch sind.

1,4 [math]\pi[/math] = 3,14 2,7

Wiederhole deine Beobachtung mit anderen Funktionsgleichungen, indem du jetzt den [b]Schieberegler (a) [/b]auf einen anderen Anfangswert (z.B. 2 oder 3) einstellst.[br][br]Verändere dann erneut den [b]Schieberegler (b)[/b] und beobachte, bei [b]welchen Wachstumsfaktor (b)[/b] die [b][color=#38761d]Ausgangsfunktion[/color][/b] und ihre [color=#cc0000][b]Ableitung[/b][/color] wieder [b]identisch[/b] sind.

Beide Graphen sind nur [b]identisch[/b] wenn der [b]Vorfaktor (a) = 1 [/b]ist. Beide Graphen sind wieder [b]identisch[/b], wenn der [b]Wachstumsfaktor (b) = 2,7[/b] ist. Beide Graphen sind [b]identisch[/b], wenn der [b]Wachstumsfaktor (b) [/b]= [b]Vorfaktor (a)[/b] ist.

Betrachte nun die beiden Funktions[b][u]gleichungen[/u][/b]. Du findest sie in der Spalte links.[br]Was fällt dir auf, wenn du die Schieberegler (a) und (b) veränderst?

Die Gleichungen der [b][color=#38761d]Ausgangsfunktion[/color][/b] und der [b][color=#cc0000]Ableitungsfunktion[/color][/b] unterscheiden sich kaum: Die Ableitung hat nur am Ende zusätzlich den Faktor [b]ln(a)[/b]. Die Gleichungen der [color=#38761d][b]Ausgangsfunktion[/b][/color] und der [color=#cc0000][b]Ableitungsfunktion[/b][/color] sind [b]komplett verschieden[/b]. Die Gleichungen der [b][color=#38761d]Ausgangsfunktion[/color][/b] und der [b][color=#cc0000]Ableitungsfunktion[/color][/b] unterscheiden sich kaum: Die Ableitung hat nur am Ende zusätzlich den Faktor [b]ln(b)[/b].

Zusammenfassung

Wähle die richtigen Antworten aus:

Die Graphen einer Exponentialfunktion und ihrer Ableitung haben immer denselben y-Achsenabschnitt/Anfangswert (a). Ableitung und Exponentialfunktion unterscheiden sich nur in einem Faktor: ln(Wachstumsfaktor b) Wenn der Anfangswert a =[math]\pi[/math]ist, sind die Graphen der Funktion und ihrer Ableitung identisch. Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist ebenfalls eine Exponentialfunktion. Es gibt eine besondere Exponentialfunktion mit dem Wachstumsfaktor b [math]\approx[/math] 2,7.[br]Die Graphen der Funktion und ihrer Ableitung sind identisch.

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