Multiplicação por escalar e adição de vetores

INTRODUÇÃO

[size=150][justify]O objetivo desta atividade é ampliar a compreensão sobre as duas operações utilizadas para caracterizar um espaço vetorial: [b][i]multiplicação por escalar[/i] [/b]e[b] [i]adição de vetores[/i][/b].[br]Usaremos aqui o termo [i]escalar[/i] como sinônimo de número real. Os escalares serão representados por letras gregas como α e β. Já os [i]vetores[/i] são entes matemáticos providos de [i]módulo[/i], [i]direção [/i]e [i]sentido [/i]e serão representados aqui por letras minúsculas do alfabeto latino como [b]u[/b], [b]v[/b] e [b]w.[/b] Quando no corpo do texto, o nome dos vetores aparecerá em negrito.[br]Um conjunto de vetores V é dito um [i]espaço vetorial[/i] quando nele estão definidas as duas operações citadas acima e quando são válidas as oito propriedades listadas abaixo para quaisquer escalares α e β e quaisquer vetores [b]u[/b], [b]v [/b]e [b]w [/b]de V:[br]A1. [b]v[/b] + [b]u[/b] = [b]u[/b] + [b]v [/b](comutatividade)[br]A2. ([b]u[/b] + [b]v[/b])+ [b]w[/b] = [b]u[/b] + ([b]v [/b]+ [b]w[/b]) (associatividade)[br]A3. Existe [b]o [/b]em V tal que [b]u[/b] + [b]o[/b] = [b]u [/b]para todo [b]u[/b] em V (existência do elemento neutro)[br]A4. Para todo [b]u[/b] em V existe [b]-u[/b] em V tal que [b]-u[/b] + [b]u[/b] = [b]o [/b](existência do vetor oposto)[br]M1. (αβ)[b]u[/b] = α(β[b]u[/b])[br]M2. 1[b]u[/b] = [b]u [/b](unidade como elemento neutro)[br]D1. α([b]u[/b] + [b]v[/b]) = α[b]u[/b] + α[b]v [/b](distributiva da multiplicação em relação a adição de vetores)[br]D2. (α+β)[b]u[/b] = α[b]u[/b] + β[b]u [/b](distributiva da multiplicação em relação a adição de escalares)[/justify][/size]

COORDENADAS DE UM VETOR

[size=150][justify]Um vetor é representado geometricamente por meio de uma seta, mas, algebricamente, um vetor é representado por meio de suas coordenadas, que são um par ordenado de números reais, caso seja um vetor do plano, ou uma terna ordenada, caso seja um vetor do espaço.[/justify][/size]

Construção 1

Questão 1

[size=150][justify]Na Construção 1, movimente os pontos pretos para modificar as coordenadas do vetor vermelho [b]v[/b]. Qual a relação entre as coordenadas de [b]v[/b] e o comprimento de suas projeções ortogonais sobre os eixos x e y, representadas pelos vetores azul e verde, respectivamente?[/justify][/size]

Construção 2

Questão 2

[size=100][size=150][justify]Na Construção 2, clique sobre o vetor [b]v[/b] e arraste-o pra diferentes posições. A seguir, clique sobre um dos pontos A ou B e movimente-os também.[br](a) Quando você arrastou o vetor [b]v[/b] (sem clicar nos pontos), as coordenadas dele foram alteradas? Por que você acha que isso aconteceu?[br](b) Quando você moveu os pontos A e B, as coordenadas do vetor [b]v[/b] foram alteradas? Por que você acha que isso aconteceu?[br](c) Como as coordenadas do vetor [b]v[/b] podem ser obtidas a partir das coordenadas de sua origem A e de sua extremidade B?[br](d) Em que situação as coordenadas do vetor [b]v[/b] coincidem com as coordenadas de sua extremidade B?[/justify][/size][/size]

MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR

[size=150][justify]Na Construção 3 você pode modificar a aparência (módulo, direção e sentido) do vetor [b]u[/b] manipulando-o a partir de sua extremidade. Contudo, o vetor [b]v[/b] está definido de modo que [b]v[/b] = α[b]u[/b]. Assim, embora possa ser movido para qualquer posição do plano, sua aparência depende do vetor [b]u[/b] e do valor do escalar α.[br]Nessa construção você pode observar também os valores das coordenadas dos vetores [b]u[/b] e [b]v[/b], bem como os módulos, isto é, o comprimento destes vetores, representados por |[b]u[/b]| e |[b]v[/b]|.[/justify][/size]

Construção 3

Questão 3

[size=150][justify]Na Construção 3, manipule o controle deslizante para alterar o valor de α e responder as perguntas abaixo:[br](a) A direção do vetor [b]v[/b] é sempre a mesma do vetor [b]u[/b] quando você altera o valor de α? E se você alterar o vetor [b]u[/b] manipulando sua extremidade ou sua origem?[br](b) O sentido dos vetores [b]u[/b] e [b]v[/b] é sempre o mesmo? Se não, em que situações esse sentido é invertido?[br](c) O que acontece quando α = 0?[br](d) O que acontece quando α = 1?[br](e) O que acontece quando α = -1?[br](f) Para que valores de α o vetor [b]v[/b] é menor que o vetor [b]u[/b]?[/justify][/size]

Questão 4

[size=150][justify]Ainda com base na Construção 3, responda as perguntas abaixo.[br](a) Como é possível obter o valor do módulo do vetor [b]v[/b] a partir do valor de α e do módulo do vetor [b]u[/b]?[br](b) Como é possível obter as coordenadas do vetor [b]v[/b] =([i]a[/i], [i]b[/i]) a partir do valor de α e das coordenadas do vetor [b]u[/b] = ([i]c[/i], [i]d[/i])?[/justify][/size]

VETOR: UM TRANSPORTADOR DE PONTOS

[size=150][justify]Um vetor pode ser encarado como um transportador de pontos.[br]Na Construção 4, temos um representante do vetor [b]v[/b] com origem em P. Para mover o ponto P para qualquer posição que você deseje, modifique o vetor [b]v[/b] arrastando sua extremidade para onde você deseja que o ponto P vá e depois clique no vetor [b]v[/b] e veja o ponto P se movendo até lá.[/justify][/size]

Construção 4

[size=150][justify]Na Construção 5, clicando sobre um dos vetores que aparecem do lado direito, você pode transportar o ponto P da posição em que estiver por uma distância correspondente ao módulo do vetor na direção e no sentido do mesmo. Você deve levar o ponto P até o ponto vermelho clicando uma única vez em cada um dos vetores. Será que a ordem dos cliques faz diferença?[br]Conseguindo ou não cumprir a tarefa na primeira tentativa, clique no ícone de reiniciar a construção no canto superior direito e veja se consegue levar o ponto P até o ponto vermelho de uma forma diferente.[/justify][/size]

Construção 5

[size=150][justify]O resultado da experiência realizada na construção acima é uma consequência das propriedades da adição de vetores que serão trabalhadas a seguir.[/justify][/size]

ADIÇÃO DE VETORES

[size=150][justify]Assim como a multiplicação por escalar, a adição de vetores é uma operação envolvendo vetores que resultará no surgimento de um novo vetor. Nas próximas atividades, veremos como são definidos o módulo, a direção e o sentido do vetor soma [b]s[/b] a partir destas mesmas características dos vetores [b]u[/b] e [b]v[/b].[/justify][/size]