El [b]desplazamiento[/b] y el [b]escalado[/b] de funciones son dos transformaciones importantes que nos permiten alterar la gráfica de una función [b]moviéndola[/b] y/o [b]redimensionándola[/b].

Los desplazamientos y escalados se pueden aplicar a funciones, pero también a imágenes. De hecho, este tipo de transformaciones son esenciales en el tratamiento de imágenes. Aunque en este recurso se van a explicar los aspectos de la transformación de funciones, una forma muy gráfica de entender los conceptos es usando imágenes, como se verá en los ejemplos siguientes.

El escalado de una función consiste en [b]comprimir[/b] o [b]estirar[/b] la gráfica de la función. Este escalado puede ser [b]horizontal[/b], si se comprime o estira la función en la dirección horizontal, o [b]vertical[/b], si lo hace en la dirección vertical.[br][br]En el [b]escalado horizontal[/b] se estira o comprime la función en la dirección horizontal. Esto se consigue multiplicando la variable [i]x[/i] por una constante [i]c[/i]. Dependiendo del valor de [i]c[/i] se pueden producir las siguientes situaciones:[br][br]si |[i]c[/i]|>1 entonces la función se comprime horizontalmente, es decir se hace más estrecha.[br][br]si 0<|[i]c[/i]|<1 entonces la función se estira horizontalmente, es decir, se hace más ancha.[br][br]si [i]c[/i]<0 entonces la función se refleja respecto el eje [i]y[/i].[br][br]En caso de no tener una función sino puntos de una imagen, el proceso para escalar consiste en estirar o comprimir los valores de la variable [i]x [/i]un valor [i]c.[/i][br][br]En la siguiente hoja dinámica se puede ver el efecto de escalar horizontalmente una imagen una cantidad [i]c, [/i]que se puede cambiar con un deslizador. Notar el efecto que tiene mover el deslizador sobre la coordenada [i]x[/i] del punto que corresponde al extremo inferior de la imagen. Además, en caso de que [i]c[/i] sea negativo se produce una reflexión respecto el eje [i]y[/i].[br]

En el [b]escalado vertical [/b]se estira o comprime la gráfica en la dirección vertical. Esto se consigue multiplicando la variable [i]y[/i] por una constante[i] c, cf(x)[/i]. Dependiendo del valor de [i]c[/i] se pueden producir las siguientes situaciones:[br][br]si |[i]c[/i]|>1 entonces la función se estira verticalmente, es decir se hace más alta.[br][br]si 0<|[i]c[/i]|<1 entonces la función se comprime verticalmente, es decir, se hace más baja.[br][br]si [i]c[/i]<0 entonces además de estirar o comprimir, la función se refleja respecto el eje [i]x[/i].[br][br][br]En la siguiente hoja dinámica se puede ver el efecto de escalar verticalmente una imagen una cantidad [i]c[/i]. Notar el efecto sobre las dimensiones de la imagen, y que cuando [i]c [/i]es negativo la imagen aparece reflejada respecto al eje [i]x.[/i]

El desplazamiento de una función consiste en [b]mover[/b] la gráfica de la función. El desplazamiento puede ser [b]horizontal[/b], si la función se mueve a la [b]izquierda[/b] o la [b]derecha[/b], o [b]vertical[/b], si se mueve [b]arriba[/b] o [b]abajo[/b].

[br]En el [b]desplazamiento horizontal[/b] se desplaza la la función horizontalmente. Esto se consigue restando a la variable [i]x[/i] una constante a[i], f(x-a)[/i]. Dependiendo del valor de [i]a[/i] se pueden producir las siguientes situaciones:[br][br]Si [i]a[/i] > 0 entonces la función se desplaza a la [b]derecha[/b] [i]a[/i] unidades.[br][br]Si [i]a[/i] < 0 entonces la función se desplaza a la [b]izquierda[/b] [i]a[/i] unidades.

En el [b]desplazamiento vertical[/b] se desplaza la la función verticalmente. Esto se consigue sumando a la función f([i]x)[/i] una constante b[i], f(x)+b[/i]. Dependiendo del valor de [i]b[/i] se pueden producir las siguientes situaciones:[br][br]Si [i]b[/i] > 0 entonces la función se desplaza hacia [b]arriba[/b] [i]b[/i] unidades.[br][br]Si [i]b[/i] < 0 entonces la función se desplaza hacia [b]abajo[/b] [i]b[/i] unidades.[br][br]Notar que los signos en los desplazamientos desplazan la función en la dirección positiva del eje si son mayores que 0, mientras que lo hacen en la dirección negativa del eje en caso de ser negativos.

En la siguiente hoja dinámica se puede ver el efecto de realizar un desplazamiento horizontal, controlado por el deslizador [i]a[/i], y el de realizar un desplazamiento vertical, controlado por el deslizador [i]b[/i]. Notar que cuando [i]a=b=0[/i] la imagen está en su posición original, con su extremo inferior izquierdo en (1,1)

En la siguiente hoja dinámica se pueden ver todas las transformaciones aplicadas sobre la imagen. Los deslizadores [i]a[/i] y [i]b[/i] representan desplazamientos horizontales y verticales respectivamente, mientras que [i]c[/i] y [i]d[/i] respresentan escalados horizontales y verticales respectivamente.

Estas transformaciones también pueden aplicarse a funciones. Como algunas transformaciones son más evidentes según el tipo de función, en la siguiente hoja dinámica se pueden ver todas las transformaciones aplicadas a dos funciones diferentes, que se pueden cambiar moviendo el deslizador llamado [i]función[/i].

Para la hoja dinámica anterior:

En la imagen siguiente se puede ver el efecto sobre la ecuación de una parábola de hacer un desplazamiento hacia la derecha de 2 unidades y un desplazamiento hacia arriba de 3 unidades.