Un vector es una cantidad que tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección (u orientación). Los vectores pueden ser representados en dos dimensiones, por ejemplo[b] [i]A[/i] = (Ax, Ay)[/b], y en tres dimensiones, [b][i]A[/i] = (Ax, Ay, Az)[/b]. Dos vectores [b][i]A[/i] y [i]B[/i][/b]  pueden están inclinados en un [b]ángulo θ [/b]respecto uno del otro (Figura I); la forma más sencilla de determinar dicho ángulo, es calcular el arco coseno del producto escalar de ambos vectores dividido entre el producto de sus módulos:[br][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\theta&space;=\arccos&space;\left&space;(\frac{\vec{A}\cdot&space;\vec{B}}{\left&space;|&space;\vec{A}&space;\right&space;|\left&space;|&space;\vec{B}&space;\right&space;|}&space;\right&space;)[/img]

El ángulo entre dos vectores [i]A[/i] = (Ax, Ay, Az) y [i]B[/i] = (Bx, By, Bz) se determina a partir de la siguiente fórmula:[br][img width=283,height=133]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\theta&space;=\arccos&space;\left&space;(\frac{\vec{A}\cdot&space;\vec{B}}{\left&space;|&space;\vec{A}&space;\right&space;|\left&space;|&space;\vec{B}&space;\right&space;|}&space;\right&space;)[/img][br]Donde:[br][list][*][i]A[/i][i]B [/i]es el [url=https://miprofe.com/producto-escalar/]producto escalar[/url] de [i]A[/i] y [i]B[/i].[/*][*]|[i]A[/i]| y |[i]B[/i]| son los [url=https://miprofe.com/vectores/]módulos[/url] de cada vector.[/*][/list]

Supongamos que se desea calcular el ángulo entre los vectores:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\vec{A}&space;&=&space;(A_{x},A_{y},A_{z})&space;\\&space;\vec{B}&space;&=&space;(B_{x},B_{y},B_{z})&space;\end{align*}[/img][br][list=1][*]Calcular el producto escalar de ambos vectores:[/*][/list][img width=281,height=28]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\vec{A}\cdot&space;\vec{B}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}[/img][br][list=1][*]Calcular (por separado) los módulos de ambos vectores:[/*][/list][img width=260,height=43]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\left&space;|&space;\vec{A}&space;\right&space;|=\sqrt{\left&space;(&space;A_{x}&space;\right&space;)^{2}+\left&space;(&space;A_{y}&space;\right&space;)^{2}\left&space;(&space;A_{z}&space;\right&space;)^{2}}[/img][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\left&space;|\vec{B}\right&space;|=\sqrt{\left&space;(&space;B_{x}&space;\right&space;)^{2}+\left&space;(&space;B_{y}&space;\right&space;)^{2}+\left&space;(&space;B_{z}&space;\right&space;)^{2}}[/img][br][list=1][*]Sustituir los valores del paso 1 y paso 2 en la fórmula:[/*][/list][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\theta&space;=\arccos&space;\left&space;(\frac{\vec{A}\cdot&space;\vec{B}}{\left&space;|&space;\vec{A}&space;\right&space;|\left&space;|&space;\vec{B}&space;\right&space;|}&space;\right&space;)[/img]

[list=1][*]Calcular el ángulo entre los vectores:[/*][/list][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\vec{A}&space;&=&space;(2,4)&space;\\&space;\vec{B}&space;&=&space;(-2,&space;3)&space;\end{align*}[/img][br]Calculamos el producto escalar de ambos vectores:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\vec{A}\cdot&space;\vec{B}=(2)(-2)+(4)(3)=-4+7=3[/img][br]Calculamos los módulos de ambos vectores:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\left&space;|\vec{A}\right&space;|&=\sqrt{(&space;2&space;)^{2}+(4)^{2}}=&space;\sqrt{4+16}=\sqrt{20}&space;\\&space;\left&space;|\vec{B}\right&space;|&=\sqrt{(&space;-2&space;)^{2}+(3)^{2}=&space;\sqrt{4+9}=\sqrt{13}&space;}&space;\end{align*}[/img][br]Sustituimos los resultados anteriores en la fórmula:[br][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\theta&space;&=\arccos&space;(\frac{6}{\sqrt{20}\sqrt{13}})&space;\\&space;&=\arccos&space;(\frac{6}{\sqrt{260}})&space;\\&space;&=&space;1,18\hspace{0.3em}rad&space;\end{align*}[/img][br]Como 1 radian ≅ 57.296 °, entonces:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\theta&space;=67,6^{\circ}[/img][br][br][br][list=1][*]Calcular el ángulo entre los vectores:[/*][/list][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\vec{A}&space;&=&space;(-1,3,4)&space;\\&space;\vec{B}&space;&=&space;(5,-2,7)&space;\end{align*}[/img][br]Calculamos el producto escalar de ambos vectores:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\vec{A}\cdot&space;\vec{B}=(-1)(5)+(3)(-2)+(4)(7)=-5-6+28=17[/img][br]Calculamos los módulos de ambos vectores:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\left&space;|\vec{A}\right&space;|&=\sqrt{(&space;-1&space;)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}}=&space;\sqrt{1+9+16}=\sqrt{26}&space;\\&space;\left&space;|\vec{B}\right&space;|&=\sqrt{(&space;5&space;)^{2}+(-2)^{2}+(7)^{2}=&space;\sqrt{25+4+49}=\sqrt{78}&space;}&space;\end{align*}[/img][br]Sustituimos los resultados anteriores en la fórmula:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\theta&space;&=\arccos&space;(\frac{17}{\sqrt{26}\sqrt{78}})&space;\\&space;&=\arccos&space;(\frac{17}{\sqrt{2028}})&space;\\&space;&=&space;1,562\hspace{0.3em}rad&space;\end{align*}[/img][br]Como 1 radian ≅ 57.296 °, entonces:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\theta&space;=89,5^{\circ}[/img]