Gebonden extrema
Gebonden extrema
Obsah
- Voorbeelden WBT 14.1
- WBT 14.1 Voorbeeld 1
- WBT 14.1 Voorbeeld 2
- WBT 14.1 Voorbeeld 3
- WBT 14.1 Voorbeeld 4
- WBT 14.1 Voorbeeld 5
- WBT 14.1 Voorbeeld 6
- WBT 14.1 Voorbeeld 7
- Extra voorbeelden
- Extra Voorbeeld 1
- Extra Voorbeeld 2
- Extra Voorbeeld 3
- Extra Voorbeeld 4
- Caveat
- Caveat bij Lagrangemultiplicatoren
- WBT 14.3
- WBT 14.3 Betekenis Lagrangemultiplicator
- WBT 14.4
- WBT14.4 Voorbeeld
WBT 14.1 Voorbeeld 1
[math]\text{Extrema van } 2x - y \text{ als } x^2+y^2-1=0[/math][br]
[size=150][b][color=#980000]3D-voorstelling[/color][/b][/size]
Extra Voorbeeld 1
Extrema van [math]\scalebox{1}{x^2+y^2+1}[/math] als [math]\scalebox{1}{\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1}[/math]
Hierbij[br][list][*]zijn KP2 en KP1 globale minima,[/*][*]en zijn KP4 en KP3 globale maxima.[/*][/list]
Caveat bij Lagrangemultiplicatoren
Waarom is het aangeraden om Lagrangemultiplicatoren te gebruiken en geen substitutie?
Als je de substitutiemethode gebruikt, is het mogelijk dat je een oplossing over het hoofd ziet door het domein van de functie in één variabele die je bekomt na substitutie niet in rekening te brengen.[br]Beschouw volgend voorbeeld.
Extrema
[list][*]lokaal (maar niet globaal) minimum bij [math]\left[[br] x=0\operatorname{,}y=0\operatorname{,}\lambda =0\right][/math] met F-waarde = [math]0[/math][/*][*]globaal MAXimum bij [math]\left[[br] x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{,}y=\frac{1}{2}\operatorname{,}\lambda[br] =1\right][/math] met F-waarde = [math]\dfrac{1}{4}[/math][/*][*]globaal MAXimum bij [math]\left[[br] x=\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{,}y=\frac{1}{2}\operatorname{,}\lambda[br] =1\right][/math] met F-waarde = [math]\dfrac{1}{4}[/math][/*][/list]
Substitutie
[size=150][b]Vervang [math]y[/math] door [math]x^2[/math][/b][/size][br]We moeten de extrema berekenen van [math]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto f(x) := {{x}^{2}}-{{x}^{4}}[/math].[br]Uit [math]f'(x)=2x-4x^3=2x \cdot \left( 1-2x^2 \right)=0[/math] bekomen we via deze subsitutie dezelfde oplossingen als via de Lagrangemultiplicator.[br][br][size=150][b]Vervang [math]x^2[/math] door [math]y[/math][/b][/size][br]We moeten de extrema berekenen van [math]h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: y \mapsto h(y) := {y-y^2}[/math], rekening houdend met het feit dat het domein van [math]h[/math] gelijk is aan [math]\left[ 0, +\infty \right[[/math] aangezien [math]y =x^2 \ge 0[/math].[br]Naast de nulpunten van [math]h'[/math] moeten we het grenspunt [math]y=0[/math] extra bekijken[size=150][b][color=#ff0000] ![/color][/b][/size][br][br]
WBT 14.3 Betekenis Lagrangemultiplicator
[b]Welke rechthoek met omtrek 200 cm heeft de grootste oppervlakte?[/b]
Noem [math]x[/math] de lengte en [math]y[/math] de breedte van een dergelijke rechthoek.[br]Dan moet voldaan zijn aan de nevenvoorwaarde [math]2x+2y=200[/math].[br][br]We nemen als rechterhandzijde van deze nevenvoorwaarde een variabele [math]c[/math] en beschouwen het maximalisatieprobleem[br] maximaliseer [math]F\left(x,y\right)=x\cdot y[/math] als [math]2x+2y=c[/math][br]met Lagrangefunctie[br] [math]L\left(x,y,\lambda\right)=xy+\lambda\cdot\left(200-2x-2y\right)[/math].[br][br]Met de notaties uit WBT 14.3 geldt[br] [math]x^{\ast}\left(c\right)=\frac{c}{4}[/math], [math]y^{\ast}\left(c\right)=\frac{c}{4}[/math], [math]\lambda^{\ast}\left(c\right)=\frac{c}{8}[/math][br]zodat[br] [math]F^{\ast}\left(c\right)=\frac{c^2}{16}[/math].[br][br]Voor [math]c=200[/math] is [math]F^{\ast}\left(200\right)=\frac{200^2}{16}=2500[/math] en [math]\lambda^{\ast}\left(200\right)=\frac{200}{8}=25[/math], met als benadering[br][br] [math]F^{\ast}\left(201\right)-F^{\ast}\left(200\right)\approx\lambda^{\ast}\left(200\right)=25.[/math][br]terwijl in werkelijkheid [br][br] [math]F^{\ast}\left(201\right)-F^{\ast}\left(200\right)=\frac{201^2}{16}-\frac{200^2}{16}=\frac{(201-200)\cdot(201+200)}{16}=\frac{401}{16}\approx25.0625.[/math][br][br][color=#ff0000]De Lagrangemultiplicator geeft dus benaderend aan hoeveel groter de oppervlakte wordt als de omtrek met 1 cm toeneemt.[/color]
WBT14.4 Voorbeeld
[size=150][b][color=#980000]3D-voorstelling[/color][/b][/size]
Grafisch merk je op dat[br][list][*]de punten KrP2 [math]= \left( 0 , -1 \right)[/math] en KrP4 [math]= \left( -1 , 0 \right)[/math] globale minima geven,[/*][*]het punt KrP6 [math]= \left( -\dfrac{1}{\sqrt{2}} , -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)[/math] een lokaal maximum bepaalt,[/*][*]terwijl het punt KrP5 [math]= \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} , \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)[/math] een lokaal minimum bepaalt,[/*][*]en de punten KrP1 [math]= \left( 0 , 1 \right)[/math] en KrP3 [math]= \left( 1 , 0 \right)[/math] globale maxima geven.[/*][/list]