[b][br]Función cuadrática[br][br]Función cuadrática[/b] es una función polinómica de grado 2. Su expresión matemática se puede escribir como [b]f(x) = a x[sup]2[/sup] + b x + c[/b], con a [math]\ne[/math] 0. Su gráfica es una curva llamada [b]parábola[/b] con su eje de simetría paralelo al eje Y.[br][br][b]Características de la función cuadrática[br][br][/b]- Gráfica: parábola con eje de simetría paralelo al eje Y[br][br]- Intercepto con eje Y: punto (0, c)[br][br]- Eje de simetría (ES): recta [math]x_s=-\frac{b}{2a}[/math]. Si b = 0 la función es par porque es simétrica al eje Y: [math]f\left(x\right)=f\left(-x\right)[/math][br][br]- Concavidad: [br][br] a) Si a > 0 es convexa (ramas hacia arriba) y tiene un extremo que es un mínimo, [math]P_M=\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)[/math] [br][br] b) Si a < 0 es cóncava (ramas hacia abajo) y tiene un extremo que es un máximo, [math]P_M=\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)[/math] [br][br]El extremo de la función cuadrática recibe el nombre de [b]vértice[/b] de la parábola. Su abcisa es el valor del eje de simetría mientras que su ordenada es la imagen del eje de simetría.[br][br] - Dominio: conjunto de los números reales, D[sub]f[/sub] = R[br][br]- Rango: [br][br] a) Si a > 0: intervalo [b][[/b][math]f\left(-\frac{b}{2a}\right),\infty[/math][b])[/b]. Reales mayores o iguales que la ordenada del vértice.[br][br] b) Si a < 0: intervalo [b]([/b][math]-\infty,f\left(-\frac{b}{2a}\right)[/math][b]][/b]. Reales menores o iguales que la ordenada del vértice.[br][br]- Crecimiento y decrecimiento:[br][br] a) Si a > 0: decrece desde [math]\infty[/math] hasta el vértice y crece desde el vértice hasta [math]\infty[/math].[br][br] b) Si a < 0: crece desde [math]-\infty[/math] hasta el vértice y decrece desde el vértice hasta [math]-\infty[/math].[br][br]- Raíces o ceros: [br][br] a) Dos raíces reales diferentes si [math]b^2-4ac[/math] > 0. [br][br] b) Dos raíces reales idénticas si [math]b^2-4ac[/math]= 0. En este caso, R[sub]1[/sub] = R2 y la parábola es tangente al eje X.[br][br] c) Dos raíces complejas diferentes si [math]b^2-4ac[/math] < 0. La parábola no cruza al eje X.[br][br]La expresión [math]b^2-4ac[/math] recibe el nombre de [b]discriminante[/b].[br][br]Para obtener las raíces se resuelve la ecuación que resulta de igualar el polinomio a cero: [math]ax^2+bx+c=0[/math]. Normalmente se hace por la fórmula general de la ecuación cuadrática o por factorización.[br][br]La fórmula general de la ecuación cuadrática [math]ax^2+bx+c=0[/math] es [math]x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]. De ahí se obtiene que las raíces son [math]R_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math] y [math]R_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br]Obsérvese que en la fórmula general están incluidas las expresiones del eje de simetría y del discriminante.[br][br]En el [b]applet[/b] siguiente se pueden analizar las diferentes características de la función cuadrática en la que los coefecientes a, b y c están en el intervalo [-5, 5].[br][br][i]El applet permite mostrar también la ecuación de la parábola como cónica que es de la forma [/i][math]\left(x-h\right)^2=\pm4p\left(y-k\right)[/math]. [i]En esta fórmula, [b]h[/b], [b]k[/b] son las coordenadas del vértice, [b]V = (h, k)[/b], mientras que [b]p[/b] es el parámetro de la parábola. Obsérvese la relación entre el signo del segundo miembro de la ecuación de la cónica con el signo del coeficiente [b]a[/b].[/i]

[b]Función cúbica[br][br]Función cúbica [/b]es una función polinómica de grado 3. Su expresión matemática es [b]f(x) = ax[sup]3[/sup] + bx[sup]2[/sup] + cx + d[/b].[br][br][b]Características de la función cúbica[br][br][/b]- Intercepto con eje Y: punto (0, d). El número [b]d[/b] de la función corresponde al término independiente.[br][br]- Raíces: una o tres raíces reales. La obtención de las raíces se puede hacer por factorización directa cuando es posible. En caso contrario, por división sintética o regla de Ruffini. [br][br]- Punto de inflexión: un punto de inflexión P[sub]i[/sub] que divide la gráfica en dos secciones, una cóncava y una convexa.[br][br]- Concavidad: [br][br] a) Si a > 0, la sección de la izquierda es cóncava, intervalo ([math]-\infty,x\left(P_i\right)[/math]] y la sección de la derecha es convexa, intervalo [[math]x\left(P_i\right),\infty[/math]). La expresión [b]x(P[sub]i[/sub])[/b] significa la abcisa del unto de inflexión P[sub]i[/sub].[br][br]La sección cóncava puede tener un máximo y la sección convexa un mímino. Un caso que no tiene máximo ni mínimo es [b]f(x) = ax[sup]3[/sup] + d[/b] pero sí tiene punto de inflexión.[br][br] b) Si a < 0, la sección de la izquierda es convexa, intervalo ([math]-\infty,x\left(P_i\right)[/math]] y la sección de la derecha es cóncava, intervalo [[math]x\left(P_i\right),\infty[/math]). Al igual que en el caso anterior, la cóncava puede tener un máximo y la convexa un mímino.[br][br]- Dominio: todos los reales, D[sub]f[/sub] = R.[br][br]- Rango: todos los reales, D[sub]f[/sub] = R.[br][br]- Crecimiento y decrecimiento:[br][br] a) Si a > 0. Se pueden presentar dos casos:[br] - Si no tiene extremos, es creciente en todo su dominio.[br] - Si tiene extremos, la gráfica se divide en tres secciones: la primera (a la izquierda hasta el punto máximo), es creciente; la segunda (parte central, entre máximo y mínimo), es decreciente; y la tercera (a la derecha desde el punto mínimo), es creciente.[br][br] b) Si a < 0. También se pueden presentar dos casos:[br] - Si no tiene extremos, es decreciente en todo su dominio.[br] - Si tiene extremos, la gráfica se divide en tres secciones: la primera (hasta el punto mínimo), es decreciente; la segunda (entre mínimo y máximo), es creciente, y la tercera (desde el punto máximo), es decreciente. [br][br]- Es función impar (simétrica al origen) si es de la forma [math]f\left(x\right)=ax^3+cx[/math]. En ese caso se cumple que [math]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/math].[br][br]A continuación se presenta un [b]applet[/b] que permite analizar las diferentes características de la función cúbica. [br][br][i]Se reitera que los criterios de primera y segunda derivada del cálculo permiten analizar y graficar las principales características de las funciones.[/i]