Fundamentos da Matemática - Lógica
Este material contém o essencial para quem quer começar no mundo da matemática. Começaremos com definições sobre o valor verdade de proposições que partem da nossa intuição, formalizaremos tais ideias e até mesmo conseguiremos realizar nossas primeiras demonstrações! Está pronto?
Índice
- Sobre o autor
- Sobre mim
- Introdução
- Introdução
- Lógica "intuitiva"
- Primeiros Conceitos
- Conectivos
- Quantificadores
- Formalizando a Lógica
- Tabela-Verdade
- Quantificadores
- Tautologias
- Implicações e Equivalências
- Demonstrações
- Princípio da Demonstração
- Demonstração Direta
- Demonstração Indireta
- Demonstração por Contrapositiva
- Prática de Demonstrações
- Demonstração Direta
- Demonstração por Contrapositiva
- Demonstração Indireta
- Fechamento
- Conclusão
Sobre mim
Sou o Gustavo Felipe Vieira, um estudante de Licenciatura em Matemática. Entrei nessa maravilhosa área por acaso: sempre quis ser engenheiro; mas, como os cursos de engenharia onde estudo são integrais, acabei dando uma chance para a Matemática, para não sair do meu trabalho. E foi uma escolha muito legal. Hoje, o meu sonho é ser pesquisador. O Brasil precisa de matemáticos: pouquíssimos doutores se formam por ano. Alguém precisará substituir os grandes nomes da atualidade, e seria uma honra ser um desses substitutos. [br] Atualmente, faço IC em Álgebra, apesar de não estar avançando muito. Em agosto de 2026, começarei a estudar Teoria dos Números com o professor Dr. Felipe Vieira, que além de meu xará, é minha maior referência profissional e uma das maiores da área pessoal. Ele é alguém que faz muita diferença no mundo, disseminando o conhecimento científico; será muito legal estudar com ele.[br] Quanto a minha vida pessoal, posso dizer que gosto de música. Em gírias modernas, os jovens irão me considerar "poser" do rock (só conheço as músicas mais famosas); mas também gosto muito da música da minha região (Sul do Brasil), incluindo a música gaúcha e "bandinhas". Toco, inclusive, acordeon; apesar de estar muito "enferrujado". Tive que abdicar de muitas coisas para manter a rotina de trabalho e estudo. A música foi uma dessas coisas; mas ano que vem talvez eu saia do meu emprego, dedicando-me apenas para os estudos.[br] E isso é tudo o que eu acho de interessante na minha vida.
Introdução
Contextualizando
[justify] A Matemática, diferente de outras ciências que constroem o conhecimento por meio da observação, baseia-se na dedução lógica. Assim, quando se avança no seu estudo, percebe-se a necessidade de compreender como essas deduções são realizadas. E, em um primeiro momento, parece simples: demonstrações são encadeamentos lógicos; onde saímos de um conjunto de informações e deduzimos novas; tudo dentro de um sistema o qual garante que, se as informações utilizadas no argumento forem verdadeiras e não houver falhas nos encadeamentos, a conclusão também será verdadeira. [br] Apesar da aparência simples, algumas demonstrações modernas ultrapassam as centenas de páginas. Além disso, há proposições muito "simples", como a lendária Conjectura de Goldbach, que afirma que "Todo número par maior do que 2 pode ser escrito como a soma de dois primos". Mesmo de fácil assimilação, essa proposição continua sem solução, isto é, não sabemos se ela é verdadeira ou não. Essa conjectura foi realizada em 1742. [/justify]
Pesquise sobre:
Conjectura de Collatz.
Motivação
[justify] Como visto, existem proposições para serem exploradas. O mundo precisa de matemáticos para que a ciência continue avançando. E por que uma dessas pessoas não pode ser você? Não seremos um novo Gauss ao terminar este livro, nem mesmo estaremos aptos para trabalhar com esses problemas famosos. Todavia, toda jornada possui um começo e, mesmo não chegando no topo do conhecimento matemático, este livro contém essencial para você começar nessa jornada. Estaremos aptos para realizarmos nossas primeira deduções lógicas, e, depois disso, você poderá escolher uma área específica. Dessa maneira, esse livro destina-se aos estudantes que buscam um material que os auxilie no pensamento crítico para as diversas olimpíadas matemáticas e, claro, para todos que buscam o início do aprendizado da Matemática dedutiva.[/justify]
Livros utilizados
[justify] O material base utilizado foi o livro "Fundamentos da Matemática", de Rafael A. de Carvalho e Felipe Vieira; mais especificamente o capítulo 2 (Lógica Matemática). Além disso, o livro "Teoria Elementar dos Números" de Edmund Lendau foi usado, com foco em algumas de suas demonstrações como exemplos. Também foram utilizadas algumas anotações de aulas assistidas, no que se refere aos exemplos de Geometria e funções.[/justify]
Próximas seções
[justify] Na próxima seção, aprenderemos intuitivamente os primeiros conceitos da Lógica Matemática, trazendo os conceitos para a realidade e intuição cotidiana. Depois, formalizaremos tais ideias e notações. Em seguida, aprenderemos, de fato, como uma demonstração é realizada e, por fim, realizaremos algumas demonstrações.[/justify]
Primeiros Conceitos
Introdução.
A Lógica estuda a estrutura dos argumentos. Por exemplo: [br][br] Todos os homens são mortais;[br] Sócrates é um homem;[br] Portanto, Sócrates é mortal[br]e[br] Todos os cachorros são brincalhões.[br] Pepe é um cachorro.[br] Portanto, Pepe é brincalhão.[br][br]Esses dois argumentos possuem conteúdos distintos, mas um mesmo formato:[br][br] A são B. C é um A. Portanto, C é B.[br][br]Isto é, estudaremos o formato de uma argumentação, primeiramente; para verificar a sua validade. Para dominar isso, precisamos primeiro estruturar alguns conceitos:[br][br]
Proposição
Uma proposição é uma sentença declarativa que podemos dizer se ela é verdadeira ou não. Por exemplos:[br][br] 1) x+2=5 : não é uma proposição até sabermos o valor da variável x;[br] 2) Qual a sua idade? : também não é, pois não é declarativa.[br][br]Mas,[br][br] 3) "5 é um número primo" : é uma proposição; pois é declarativa e podemos dizer que ela é verdadeira.
Proposição: se g e f são duas retas paralelas distintas (nenhum ponto em comum), se uma reta h é secante a uma delas, é secante a outra também
Intuitivamente, a proposição anterior é verdadeira ou falsa?
Demonstraremos, posteriormente, essa proposição. O que importa, no momento, é que ela é obviamente verdadeira ou falsa: não depende de outras interpretações.
Valor Verdade.
É a atribuição dos valores (verdadeiro) ou (falso) para proposições declarativas.[br][br] "2 é um número par" é uma proposição verdadeira. Denotamos por V[br] "6 é um número ímpar" é uma proposição falsa. Denotamos por F
Responda:
Qual o valor verdade das seguintes proposições, respectivamente:[br][br]P: 33 é um múltiplo de 11.[br]Q: 57 é um número primo.
Tabela-Verdade
[justify] A tabela-verdade é um quadro de linhas e colunas e um cabeçalho que representa todas as possibilidades dos valores verdades de cada uma das sub proposições de uma proposição composta ligada por conectivos. [br] Teremos símbolos para cada um dos conectivos, e usaremos as ideias intuitivas aprendidas na seção anterior para definir a tabela verdade dos 5 conectivos básicos. A partir desses, podemos estabelecer a tabelas-verdade de proposições cada vez mais complexas, desde que não haja ambiguidades. Além disso, a cada sub proposição P adicionada à estrutura, elevasse ao quadrado o número de linhas da tabela. Assim, uma tabela com 10 proposições teria 1024 linhas.[/justify]
Exemplo: tabela-verdade da negação.
Pesquise:
Os 5 conectivos lógicos e seus símbolos.
Faça
A tabela-verdade dos 5 conectivos lógicos.
Realize
A tabela-verdade de (não p) ou (não q)
Faça
A tabela-verdade de não(p e q).
Realize
A tabela verdade de não(não p).
[justify] Percebeu algo? As tabelas-verdade de ((não p) ou (não q)) e não(p e q) são iguais, assim como as de p e não(não p). Assim, sempre que uma for verdadeira, a outra também é e, quando uma é falsa, a outra também deve ser. Por esse motivo, definimos que duas proposições são equivalentes de possuem a mesma tabela-verdade.[/justify][br]
Para finalizar e fixar, assista ao vídeo:
Princípio da Demonstração
Argumento.
[justify] Vimos que nem todas as proposições são tautologias. Mas, suponha que "se p e q, então r" seja. Assim, sempre que as proposições p e q forem verdadeiras, r também é. Chamamos essa estrutura de argumento. Um argumento é composto por premissas (à esquerda de [math]\longrightarrow[/math]) e de uma conclusão (à direita). [br] Na Matemática, um argumento que é uma tautologia (válido) recebe o nome de teorema. Caso ele não seja uma tautologia, pode acontecer de que, mesmo com premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa. Apesar de simples, pode ser muito difícil realizar algumas demonstrações. Conjecturas como a dos primos gêmeos permanecem sem demonstração mesmo depois de séculos.[/justify]
Um argumento é uma proposição do formato:
Teste de validade:
[justify] Para testar a validade de um argumento, criamos sua tabela verdade e analisamos se a coluna da condicional gera uma tautologia (sempre verdade). Por exemplo, vejamos se o argumento seguinte é válido:[/justify]1) Não q[br]2) Se p, então q[br]3) Logo, não p[br][br]
Logo, esse argumento é válido. (olhe para a coluna de [math]\longrightarrow[/math])
Formas equivalentes.
[justify] Como vimos, existem algumas equivalências e implicações lógicas. Duas das mais importantes são a contrapositiva e redução ao absurdo. Veremos, adiante, exemplos de demonstrações usando essas equivalências. Mas, basicamente, como essas estruturas possuem sempre os mesmo valores-verdade, demonstrar uma é demonstrar a outra. Sendo assim, as três maneiras mais comuns de se demonstrar são:[br][/justify]
Mostre que o seguinte argumento não é válido:
P1)Não p.[br]P2)Se p, então q.[br]C) Não q.
Mostre que o seguinte argumento é inválido:
P1) Se p, então q.[br]P2)(não p) ou q.[br]C) Se q, então p
Demonstração Direta
Vamos, agora, demonstrar diretamente algumas proposições. Deixaremos claro as definições necessárias para não haver ambiguidades.
Proposição: o produto de dois números ímpares é, também, ímpar.
[justify] "Traduzindo" a proposição usando conectivos, pode-se perceber que o argumento é da forma se A, então B. Note que um número é par se é divisível por 2. Como utilizaremos ímpares, 2 não os divide. Então, tais números são do formato 2a+1, sendo a um número inteiro qualquer, pois todo número inteiro dividido por 2 deixa resto 0 ou resto 1, mas se o resto fosse 0, 2 os dividiria e eles seriam pares, mas não são. Assim, para provar que essa afirmação é verdadeira, fixaremos dois ímpares arbitrários: x=2a+1 e y=2b+1; e continuamos com eles. Tais elementos são chamados de variáveis fixas, porém arbitrárias. Elas são fixas porque as utilizaremos até o fim de nossas contas, mas arbitrárias por conta dos valores a e b poderem ser quaisquer inteiros. Isso garante que provaremos a afirmação para todos os ímpares, não só para alguns deles.[/justify]
Demonstração
[justify] Sejam x=2a+1 e y+2b+1 dois inteiros ímpares, sendo a e b inteiros. Então, x[math]\cdot[/math]y= (2a+1)(2b+1), isso advém da igualdade inicial. Aplicando a propriedade distributiva, obtemos que x[math]\cdot[/math]y = 4ab+2a+2b+1. Podemos por o fator comum 2 em evidência, resultando em x[math]\cdot[/math]y = 2(2ab+a+b)+1. Por fim, basta notar que 2ab+a+b é um inteiro, pois a adição é fechada nos inteiros (não há como somar dois inteiros e o resultado ser não inteiro). Logo, existe um c inteiro tal que x[math]\cdot[/math]y = 2c+1, onde c = 2ab+a+b. Portanto, o produto de dois ímpares é sempre ímpar, como queríamos mostrar.[/justify]
Confira o vídeo para acompanhar o raciocínio de uma proposição similar.
Pesquise sobre:
1) Axiomas de Peano.[br]2) Operações fechadas (em especial, a adição nos naturais e nos inteiros).
a,b e c são inteiros e a é não nulo. Se a divide b e b divide c, então a divide c (a divisão é transitiva).
Dizemos que um inteiro não nulo x divide um inteiro y se, e somente se, existe um inteiro z tal que xz=y. Agora, podemos prosseguir:[br][br] Demonstração:[br][br] Por hipótese, a divide b e b divide c. Assim, pela definição de divisibilidade, existem inteiros x e y tais que:[br][br] 1) ax=b[br] 2) by=c[br][br] Substituindo b=ax da primeira igualdade na segunda, obtemos:[br][br] (ax)y = c. Como o produto é associativo nos inteiros, vale que a(xy) = c, onde xy é um inteiro. Isso nos garante que a divide c (definição de divisibilidade).
Pesquise sobre:
Propriedades dos números inteiros e dos números reais.
Toda função linear é ímpar.
[justify] No applet anterior, estão destacados dois pares ordenados: (1, f(1)), (5, f(5)). Quando o coeficiente b é igual a zero, uma situação interessante acontece: parece que para qualquer valor de a, sempre teremos o seguinte cenário: se a função calculada em opostos gera opostos. Será que conseguimos generalizar isso para toda função linear (afim com b=0)? [br] Definição: uma função f é ímpar se para todo elemento x de seu domínio, vale que f(x) = -f(-x).[/justify]
Demonstração.
[justify] Precisamos, basicamente, mostrar que toda função linear é ímpar. Sendo assim, seja h uma função linear. Assim, para todo elemento x de seu domínio, h(x) = ax, para algum a diferente de zero. Note que, sendo -y e y elementos opostos quaisquer do domínio de h, vale que:[br][br] h(y) = ay e [br] h(-y) = a(-y) = -ay, logo, -h(-y) = -(-ay) = ay.[br][br] Portanto, h(y) = ay = -h(-y), ou seja, h é uma função ímpar.[/justify]
Pesquise sobre:
1) Função par.[br]2) Função crescente/decrescente.
Pense e escreva sobre:
Toda função linear é afim, mas nem toda função afim é linear.
Conclusão
[justify] Agora, você está apto para investigar algumas informações que são, muitas vezes, impostas como verdade. Cabe a você escolher se segue aprendendo assuntos mais avançados ou não. Espero que tenha gostado e aproveitado essa experiência.[/justify]
Recomendações.
[justify] Caso queira avançar ainda mais na Matemática, recomendo estudar a disciplina Fundamentos de Matemática integralmente. Além da Lógica, o estudo da Teoria de Conjuntos, relações e funções será realizado; que são as grandes bases da Matemática. Veja que esses nomes são reconhecíveis no ensino básico. A diferença é que um grau maior de formalismo será utilizado, e você conseguirá demonstrar algumas propriedades dessas disciplinas com o que aprendemos neste livro. Também recomendo o estudo axiomático da Geometria Plana, por sempre podermos recorrer às imagens para a compreensão das diversas situações que possam vir a aparecer.[/justify]
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