[b]Definição:[/b][br]Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math]. Um ponto [math]X_{_0}\in Dom\left(f\right)[/math] é denominado ponto crítico se [math]\nabla f\left(X_0\right)=\vec{0}[/math] ou caso uma das derivadas parciais não existirem. [br][br][br][b]Definição:[/b][br]Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math]. Se [math]f[/math] possui todas as derivadas parciais de segunda ordem em um conjunto aberto [math]A\subseteq Dom\left(f\right)[/math], podemos definir a matriz abaixo, que é chamada de matriz Hessiana de [math]f[/math] em [math]X\in A[/math].[br][br][br] [math]\text{\begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(X) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(X) & \ldots& \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}(X) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(X) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(X) & \ldots& \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n}(X) \\ \vdots& \vdots& \quad& \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1}(X) & \frac{\partial^2 f}{ \partial x_n \partial x_2}(X) & \ldots& \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(X) \end{bmatrix}}[/math][br][br]Neste capítulo abordaremos apenas o caso [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math]. Seja [math]\left(x_0,y_0\right)\in A\subseteq Dom\left(f\right)[/math], teremos a seguinte matriz[br][br] [math]\text{\begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0) & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0,y_0) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0,y_0) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0) \end{bmatrix}}[/math][br][br]A determinante da matriz Hessiana é denominada Hessiano de [math]f[/math] e, o caso de [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math] é apresentado a seguir[br][br] [math]H\left(x_0,y_0\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(x_0,y_0\right)\cdot\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\left(x_0,y_0\right)-\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\left(x_0,y_0\right)\right)^2[/math][br][br]

[b]Teorema:[br][br][/b]Seja [math]\left(x_0,y_0\right)\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(f\right)[/math], tal que [math]\nabla f\left(x_0,y_0\right)=\vec{0}[/math], e seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math] uma função de classe [math]C^2[/math] em [math]A[/math].[br][br]i) Se [math]\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(x_0,y_0\right)>0[/math] e [math]H\left(x_0,y_0\right)>0[/math], então [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] é um ponto de mínimo local da função [math]f[/math].[br]ii) Se [math]\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(x_0,y_0\right)<0[/math] e [math]H\left(x_0,y_0\right)>0[/math], então [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] é um ponto de máximo local da função [math]f[/math].[br]iii) Se [math]H\left(x_0,y_0\right)<0[/math] então [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] é um ponto de sela da função [math]f[/math].[br]iv) Se [math]H\left(x_0,y_0\right)=0[/math], então nada pode se afirmar sobre o ponto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math].

[b]Definição:[/b][br]Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math] uma função escalar de várias variáveis reais. Diz-se que [math]X_0\in Dom\left(f\right)[/math] é um ponto de mínimo local se existe uma bola aberta [math]B[/math], contendo [math]X_0[/math], tal que [br][br] [math]f\left(X_0\right)\le f\left(X\right),\quad\forall X\in B\cap Dom\left(f\right)[/math].[br][br]Neste caso, [math]f\left(X_0\right)[/math] é chamado de mínimo local.[br]

[b]Definição:[/b][br]Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math] uma função escalar de várias variáveis reais. Diz-se que [math]X_0\in Dom\left(f\right)[/math] é um ponto de máximo local se existe uma bola aberta [math]B[/math], contendo [math]X_0[/math], tal que [br][br] [math]f\left(X\right)\le f\left(X_0\right),\quad\forall X\in B\cap Dom\left(f\right)[/math].[br][br]Neste caso, [math]f\left(X_0\right)[/math] é chamado de máximo local.[br]

Os pontos de máximo e mínimo locais são denominados extremantes locais.

[b]Definição:[/b][br]Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math] uma função escalar de várias variáveis reais. Diz-se que [math]X_0\in Dom\left(f\right)[/math] é um ponto de mínimo global se[br] [math]f\left(X_0\right)\le f\left(X\right),\quad\forall X\in Dom\left(f\right)[/math].[br][br]Neste caso, [math]f\left(X_0\right)[/math] é chamado de mínimo local.[br]

[b]Definição:[/b][br]Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math] uma função escalar de várias variáveis reais. Diz-se que [math]X_0\in Dom\left(f\right)[/math] é um ponto de máximo global se[br] [math]f\left(X\right)\le f\left(X_0\right),\quad\forall X\in Dom\left(f\right)[/math].[br][br]Neste caso, [math]f\left(X_0\right)[/math] é chamado de máximo local.[br]